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各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），數列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，數列{c_n}的前n項和為T_n，當n為偶數時，求T_n；
（3）若數列Pn=

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•(2n-1)(n∈N*)，甲同學利用第（2）問中的T_n，試圖確定T_n-P_n的值是否可以等于20？為此，他設計了一個程序（如圖），但乙同學認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”（即程序會永遠循環下去，而無法結束），你是否同意乙同學的觀點？請說明理由．

已知函數f(x)=x²-(-1)^k·2lnx(k∈N*).

(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；

(Ⅱ)k是偶數時，正項數列{an}滿足a₁=1，f′(a_n)=，求a_n的通項公式；

(Ⅲ)k是奇數，x＞0，n∈N*時，求證：[f′(x)]ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2).

已知定義在（-1，1）上的函數f （x）滿足，且對x，y∈（-1，1）時，有．
（I）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并證明之；
（II）令，求數列{f（x_n）}的通項公式；
（III）設T_n為數列的前n項和，問是否存在正整數m，使得對任意的n∈N^*，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說明理由．