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在平面直角坐標系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設點T（0，3）在橢圓內部，若橢圓C上的點到點P的最遠距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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1．（文）A（理）C　2．（文）A（理）B　3．C　4．（文）D（理）B　

5．（文）D　（理）C　6．A　7．C　8．B　9．A　10．D　11．A　12．C　

13．33　14．7　15．18

　　16．只要寫出-4c，2c，c（c≠0）中一組即可，如-4，2，1等

　　17．解析：

　　　　　　　　　　　　　　 ．

　　18．解析：（1）由，，成等差數列，得，

　　若q＝1，則，，

　　由≠0　得　，與題意不符，所以q≠1．

　　由，得．

　　整理，得，由q≠0，1，得．

　　（2）由（1）知：，

　　，所以，，成等差數列．

　　19．解析：（1）記“摸出兩個球，兩球恰好顏色不同”為A，摸出兩個球共有方法種，

　　其中，兩球一白一黑有種．

　　∴　．

　　（2）法一：記摸出一球，放回后再摸出一個球“兩球恰好顏色不同”為B，摸出一球得白球的概率為，摸出一球得黑球的概率為，

　　∴　P（B）＝0.4×0.6＋0.6＋×0.4＝0.48

　　法二：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”．

　　∴　

　　∴　“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為．

　　20．解析：（甲）（1）∵　△為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，∴　且．

　　∵　正三棱柱，　∴　底面ABC．

　　∴　在底面內的射影為CM，AM⊥CM．

　　∵　底面ABC為邊長為a的正三角形，　∴　點M為BC邊的中點．

　　（2）過點C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，

　　∴　AM⊥平面　∵　CH在平面內，　∴　CH⊥AM，

　　∴　CH⊥平面，由（1）知，，且．

　　∴　．　∴　．

　　∴　點C到平面的距離為底面邊長為．

　　（3）過點C作CI⊥于I，連HI，　∵　CH⊥平面，

　　∴　HI為CI在平面內的射影，

　　∴　HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．

　　在直角三角形中，，

，

　　∴　∠CIH＝45°，　∴　二面角的大小為45°

　　（乙）解：（1）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

　　∵　AC＝2a，∠ABC＝90°，

　　∴　．

　　∴　B（0，0，0），C（0，，0），A（，0，0），

　　（，0，3a），（0，，3a），（0，0，3a）．

　　∴　，，，，，，

　　∴　，，，，，．

　　∴　，，　∴　，

　　∴　．　故BE與所成的角為．

　　（2）假設存在點F，要使CF⊥平面，只要且．

　　不妨設AF＝b，則F（，0，b），，，，，0，，，，，　∵　，　∴　恒成立．

　　或，

　　故當或2a時，平面．

　　21．解析：（1）法一：l：，

　　解得，．　∵　、、成等比數列，

　　∴　，　∴　，　，，，，

　　∴　，．　∴　

　　法二：同上得，．

　　∴　PA⊥x軸．．　∴　．

　　（2）　∴　．

　　即　，　∵　，

　　∴　，即　，．　∴　，即　．

　　22．解析：（1）．　又c＜b＜1，

　　故　方程f（x）＋1＝0有實根，

　　即有實根，故△＝

　　即或

　　又c＜b＜1，得-3＜c≤-1，由知．

　　（2），．

　　∴　c＜m＜1　∴　．

　　∴　．　∴　的符號為正．