題目列表(包括答案和解析)
設函數
。
（I）求函數
的單調區間、極大值和極小值。
（II）若
時，恒有
，求實數
的取值范圍。
（本小題滿分14分）
設函數
。
（I）求函數
的單調區間、極大值和極小值。
（II）若
時，恒有
，求實數
的取值范圍。
已知函數
（I） 討論f（x）的單調性；
（II） 設f（x）有兩個極值點
若過兩點
的直線I與x軸的交點在曲線
上，求α的值。
【解析】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是三次函數，通過求解導數，求解單調區間。另外就是運用極值的概念，求解參數值的運用。
【點評】試題分為兩問，題面比較簡單，給出的函數比較常規，，這一點對于同學們來說沒有難度但是解決的關鍵還是要看導數的符號的實質不變，求解單調區間。第二問中，運用極值的問題，和直線方程的知識求解交點，得到參數的值。
（1）
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
D
B
C
C
D
D
A
C
二、填空題
13．
14．
15．4 16．③④
三、解答題
17．解：（1）∵
，
，
∴
．
…………2分
又
， …………4分
∴
，∴
．
…………6分
（2）∵
，
，，
∴
． …………8分
∵
，
∴
．
∴
，
∴
.…………10分
18．（1）證明：連結BD交AC于點M，取BE的中點N，
連結MN，則MN∥ED且MN＝
ED，依題意，
知AG∥ED且AG＝ED，
∴MN∥AG且MN＝AG．
故四邊形MNAG是平行四邊形， AM∥ＧＮ，
即AC∥ＧＮ，…………3分
又∵
∴ AC∥平面GBE．…………6分
（2）解：延長EG交DA的延長線于H點，
連結BH，作AO⊥GH于O點，連結BO．
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，AB⊥AD
∴ AB⊥平面ADEF，由三垂線定理，知AB⊥GH，
故∠AOB就是二面角B－GE－D的平面角．…………8分
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD
∴ ED⊥平面ABCD，
故∠EBD就是直線BE與平面ABCD成的角，……10分
知∠EBD＝45°，設AB＝a，則BE＝BD＝
a．
在直角三角形AGH中：AH＝AD= a，AG＝
＝
a，
HG＝
，AO＝
．
在直角三角形ABO中：tan∠AOB＝
．
∴ ∠AOB＝60°．
故二面角B－GE－D的大小為60°．…………12分
19．解：（1）記A0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產品中恰有1件是二等品”．則A0、A1互斥，且A＝A0＋A1．
故P （A）＝P （A0＋A1）＝P
（A0） ＋P （A1）＝（1－p）2＋C
p （1－p）＝1－p2．
依題意，知1－p2＝0.96，又p＞0，得p＝0.2．…………6分
（2）（理）ξ可能的取值為0，1，2．
若該批產品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故
Ｐ（ξ＝0）＝
．Ｐ（ξ＝1）＝
．
Ｐ（ξ＝2）＝
．…………9分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
ξ的期望
…………12分
20．解 （1）
在
上單調遞增，
上單調遞減，
有兩根
，
……4分
令
，
則
，
因為
在
上恒大于0，所以
在上單調遞增，
故
， 
，
.
……………6分
（2）
，
．
．
………………8分
①當
時，
，定義域為
，
恒成立，
上單調遞增；
…………9分
②當
時，
，定義域：
，
恒成立，
上單調遞增； …………10分
③當
時，
，定義域：，
由得
，由
得
．
故在
上單調遞增；在
上單調遞減. …………11分
所以當時，上單調遞增，故
無極值；
當時，上單增；故無極值.
當時，在上單調遞增；在上單調遞減.
故有極小值,且的極小值為
. …12分
21．解：（I）設
依題意得
…………2分
消去
，整理得
．…………4分
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示圓． …………6分
（II）當
時，方程為
，
設直線
的方程為
，
…………8分
消去得
．…………10分
根據已知可得
，故有
，
，
直線的斜率為
． …………12分
22．證明 （Ⅰ）即證
.
，
，
，
.…………2分
假設
，則
，…………4分
，
.
綜上所述，根據數學歸納法，命題成立. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，…………8
.…………10
又 
， 
，
即
.………12分
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