題目列表(包括答案和解析)
（2009•崇明縣一模）如圖，在直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、F、G分別是棱A1B1、AB、A1D1的中點．一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
D
B
C
C
D
D
A
C
二、填空題
13．
14．
15．4 16．③④
三、解答題
17．解：（1）∵
，
，
∴
．
…………2分
又
， …………4分
∴
，∴
．
…………6分
（2）∵
，
，，
∴
． …………8分
∵
，
∴
．
∴
，
∴
.…………10分
18．（1）證明：連結BD交AC于點M，取BE的中點N，
連結MN，則MN∥ED且MN＝
ED，依題意，
知AG∥ED且AG＝ED，
∴MN∥AG且MN＝AG．
故四邊形MNAG是平行四邊形， AM∥ＧＮ，
即AC∥ＧＮ，…………3分
又∵
∴ AC∥平面GBE．…………6分
（2）解：延長EG交DA的延長線于H點，
連結BH，作AO⊥GH于O點，連結BO．
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，AB⊥AD
∴ AB⊥平面ADEF，由三垂線定理，知AB⊥GH，
故∠AOB就是二面角B－GE－D的平面角．…………8分
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD
∴ ED⊥平面ABCD，
故∠EBD就是直線BE與平面ABCD成的角，……10分
知∠EBD＝45°，設AB＝a，則BE＝BD＝
a．
在直角三角形AGH中：AH＝AD= a，AG＝
＝
a，
HG＝
，AO＝
．
在直角三角形ABO中：tan∠AOB＝
．
∴ ∠AOB＝60°．
故二面角B－GE－D的大小為60°．…………12分
19．解：（1）記A0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產品中恰有1件是二等品”．則A0、A1互斥，且A＝A0＋A1．
故P （A）＝P （A0＋A1）＝P
（A0） ＋P （A1）＝（1－p）2＋C
p （1－p）＝1－p2．
依題意，知1－p2＝0.96，又p＞0，得p＝0.2．…………6分
（2）（理）ξ可能的取值為0，1，2．
若該批產品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故
Ｐ（ξ＝0）＝
．Ｐ（ξ＝1）＝
．
Ｐ（ξ＝2）＝
．…………9分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
ξ的期望
…………12分
20．解 （1）
在
上單調遞增，
上單調遞減，
有兩根
，
……4分
令
，
則
，
因為
在
上恒大于0，所以
在上單調遞增，
故
， 
，
.
……………6分
（2）
，
．
．
………………8分
①當
時，
，定義域為
，
恒成立，
上單調遞增；
…………9分
②當
時，
，定義域：
，
恒成立，
上單調遞增； …………10分
③當
時，
，定義域：，
由得
，由
得
．
故在
上單調遞增；在
上單調遞減. …………11分
所以當時，上單調遞增，故
無極值；
當時，上單增；故無極值.
當時，在上單調遞增；在上單調遞減.
故有極小值,且的極小值為
. …12分
21．解：（I）設
依題意得
…………2分
消去
，整理得
．…………4分
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示圓． …………6分
（II）當
時，方程為
，
設直線
的方程為
，
…………8分
消去得
．…………10分
根據已知可得
，故有
，
，
直線的斜率為
． …………12分
22．證明 （Ⅰ）即證
.
，
，
，
.…………2分
假設
，則
，…………4分
，
.
綜上所述，根據數學歸納法，命題成立. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，…………8
.…………10
又 
， 
，
即
.………12分
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