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設是橢圓的左焦點，直線方程為，直線與軸交于點，、分別為橢圓的左右頂點，已知，且．
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)過點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，求三角形面積．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

A

A

C

B

C

B

C

D

二、填空題：（每小題4分，共24分）

11．     12．800，20%     13．2     14．4     15．     16．1005

三、解答題：（17～20題，每小題12分，第21、22題14分，共計76分）

17．（本題滿分12分）

解：（1）在中，利用余弦定理，，

        代入得，

        而是銳角三角形，所以角????????????????????????????? 5分

   （2）

        周期

        因為

        所以??????????????????????????????? 8分

        當時，又；

        所以，在上的單調減區間為?????????? 12分

18．（本題滿分12分）

解（I）設為的中點，連結，

       為的中點，為的中點，

       ==(//) ==(//)

==(//)

?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

 （Ⅱ）

 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，

19．（本題滿分12分）

解：（1）共有10個等可能性的基本事件，列舉如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），

       （2，3），（2，4），（2，5）（3，4），（3，5），（4，5）。

（2）記事件“甲同學所抽取的兩題的編號之和小于8但不小于4”為事件A

     由（1）可知事件共含有7個基本事件，列舉如下：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），

（2，4），（2，5），（3，4）

（3）記事件B“做對政治附加題同時還需做對兩道基本題”

     記事件C“做對歷史附加題同時還需至少做對一道基本題”

     記事件D“甲同學得分不低于20分”

20．（本題滿分12分）

（1）與由

     切線的斜率切點坐標

     所求切線方程????????????????????????????????????? 5分

（2）若函數為上單調增函數，

     則上恒成立，即不等式在上恒成立。

     也即在上恒成立

     令，上述問題等價于

     而為在上的減函數，

     則，于是為所求???????????????????????????????? 12分

21．（本題滿分14分）

解（1）由

  （2）數列為等差數列，公差                      

       從而

       從而

22．（本題滿分14分）

解：（1）由題知：???? 4分

   （2）因為：，從而與的平分線平行，

        所以的平分線垂直于軸；

        由

        不妨設的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：

        、；其中；????????????? 8分

        由得；

        因為在橢圓上；所以是方程的一個根；

        從而；???????????????????????????????????????????????????? 10分

        同理：；從而直線的斜率；

        又、；所以；所以所以向量與共線。 14分

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