Question

橢圓的對稱中心在坐標原點，一個頂點為A（0，2），右焦點F與點B(

2

 ， 

2

)的距離為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直線l：y=kx-2，使直線l與橢圓相交于不同的兩點M，N滿足|

AM

| = |

AN

|，若存在，求直線l的傾斜角α；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，由題意得b=2，再由a、b、c之間的關系及|FB|=2，求出a²=12，從而得到橢圓的方程．
（2）假設存在直線l，則點A在線段MN的垂直平分線上，把直線l的方程代入橢圓的方程，轉化為關于x的一元二次方程，由題意知判別式大于0，設出M、N的坐標，利用一元二次方程根與系數的關系，用斜率表示MN的中點P的坐標，求出AP的斜率，由AP⊥MN，斜率之積等于-1，求出直線l的斜率，進而得到直線的傾斜角．

解答：解：（1）依題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
則其右焦點坐標為F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，（1分）
由|FB|=2，得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，
即(c-

2

)2+2=4，解得c=2

2

．（3分）
又∵b=2，∴a²=c²+b²=12，即橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．（4分）

（2）由|AM|=|AN|知點A在線段MN的垂直平分線上，
由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

消去y得x²+3（kx-2）²=12
即（1+3k²）x²-12kx=0（6分）
由k≠0，得方程的△=（-12k）²=144k²＞0，即方程有兩個不相等的實數根． （7分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀），
則x1+x2=

12k

1+3k2

，∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

，
∴y0=kx0-2=

6k2-2 (1+3k2)

1+3k2

=

-2

1+3k2

，即P (

6k

1+3k2

 ， 

-2

1+3k2

)，（9分）
∵k≠0，∴直線AP的斜率為k1=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-2(1+3k2)

6k

，（10分）
由AP⊥MN，得

-2-2(1+3k2)

6k

×k=-1，（11分）
∴2+2+6k²=6，解得：k=±

3

3

，即tanα=±

3

3

，（12分）
又0≤α＜π，故α=

π

6

，或α=

5π

6

，
∴存在直線l滿足題意，其傾斜角α=

π

6

，或α=

5π

6

．（13分）

點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標注方程，直線與圓錐曲線的位置關系，一元二次方程根與系數的關系，兩直線垂直的性質，
以及直線的傾斜角與斜率的關系．