過直線y=-m（m為大于0的常數）上一動點Q作x軸的垂線，與拋物線C：y=x²相交于點P，拋物線上兩點A、B滿足

PA

+

PB

=2

QP

（1）求證：直線AB與拋物線C在點P處的切線平行，且直線AB恒過定點；
（2）是否存在實數m，使得點Q在直線y=-m上運動時，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

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已知F₁（-2，0），F₂（2，0），動點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記動點P的軌跡為S，過點F₂作直線l與軌跡S交于P、Q兩點，過P、Q作直線x=的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=|AP|•|BQ|．
（Ⅰ）求軌跡S的方程；
（Ⅱ）設點M（-1，0），求證：當λ取最小值時，△PMQ的面積為9．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：CDACB； 6-10：ABCDB； 11-12：CD.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．1；  14．；  15．； 16．①②④．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，∴，

∵，∴．?????????????????????????????????????????????????????????? 2分

則???????????????????????????????????? 4分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，則．???????????????????????? 8分

則．?????????????????????????????????????????????????????? 10分

∵，∴，∴．????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）設“學生甲投籃3次入圍”為事件A；“學生甲投籃4次入圍”為事件B，且事件A、B互斥．      1分

則；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

故學生甲最多投籃4次就入圍的概率為．?????????????????????????? 6分

（Ⅱ）依題意，的可能取值為3，4，5．則，??????????????? 7分

，?????????????????????????????????????????????? 8分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

則的分布列為：

3

4

5

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

故．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F為CD中點，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

  （Ⅱ）延長DA，EB交于點H，連結CH，因為AB∥DE，AB=DE，所以A為HD的中點．因為F為CD中點，所以CH∥AF，因為AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，則∠DCE=45°，則所求成銳二面角大小為45°．???????????? 8分

（Ⅲ），因DE∥AB，故點E到平面ABC的距離h等于點D到平面ABC的距離，也即△ABC中AC邊上的高．??????????????????????????????????????????????????? 10分

∴三棱錐體積．???????? 12分

方法二  （Ⅱ）取CE的中點Q，連接FQ，因為F為CD的中點，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA兩兩垂直，以O為坐標原點，建立如圖坐標系，則F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．平面ACD的一個法向量為，      5分

設面BCE的法向量，則即取．

則．???????????????????????????? 7分

∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°．?????????? 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一個法向量為，．點A到BCE的距離．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

又，，，△BCE的面積．?? 11分

三棱錐A-BCE的體積．??????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）當時，，．?????????????????????????????????????? 1分

由，解得；，解得．????????????????????????? 3分

∴函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是．????????????????????????? 4分

（Ⅱ）由不等式的解集為P，且，可知，對于任意，不等式恒成立，即即在上恒成立．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

令，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

當時，；當時，．

∴函數在上單調遞增；在上單調遞減．????????????????????????????????????????? 10分

所以函數在處取得極大值，即為在上的最大值．

∴實數t的取值范圍是．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）由已知 ，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支．   2分

設方程為，則，，∴．??????????????????????????????????????? 3分

故軌跡E的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）①若存在．據題意，直線l的斜率存在且不等于0，設為k（k≠0），則l的方程為，與雙曲線方程聯立消y得，設、，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

由知，△HPQ是等腰三角形，設PQ的中點為，則，即．      6分

而，，即．

∴，即，解得或，因，故．

故存在直線l，使成立，此時l的方程為．???????????????????????? 8分

②∵，∴直線是雙曲線的右準線，由雙曲線定義得：，，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

方法一：當直線l的斜率存在時，∴

．∵，∴，∴.???????????????????????? 11分

當直線l的斜率不存在時，，，綜上.??????????????????????? 12分

方法二：設直線的傾斜角為，由于直線與雙曲線右支有兩個交點，

∴，過Q作，垂足為C，則，

∴，由，得，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．（Ⅰ）解：，，∴．??????????????????????? 2分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，

∴，當且僅當時，．

∵a₁=1，故．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

下面采用數學歸納法證明．

當n=1時，a₁=1<2，結論成立．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

假設n=k時，結論成立，即，則n=k+1時，

，而函數在上單調遞增，由，

∴，即當n=k+1時結論也成立．???????????????????????????????????????? 7分

綜上可知：．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由，有，

∴ ，∴．?????????????????????????????? 10分

故，

則．????????????????????????????? 12分

由，，求得．

當n=1時，；當n=2時，；當n≥3時，由（Ⅱ）知，有．      14分