Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），動點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記動點P的軌跡為S，過點F₂作直線l與軌跡S交于P、Q兩點，過P、Q作直線x=的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=|AP|•|BQ|．
（Ⅰ）求軌跡S的方程；
（Ⅱ）設點M（-1，0），求證：當λ取最小值時，△PMQ的面積為9．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，結合焦點坐標，可求軌跡S的方程；（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，結合韋達定理，及λ=|AP|•|BQ|，考慮直線斜率不存在，確定λ的最小值為，從而可求△PMQ的面積．
解答：（Ⅰ）解：由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支．…（1分）
由c=2，2a=2，∴b²=3．               …（3分）
故軌跡S的方程為x²-=1 （x≥1）…（5分）
（Ⅱ）證明：當直線l的斜率存在時，…（6分）
設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與雙曲線方程聯立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0       …（7分）
∴解得k²＞3．…（9分）
∵λ=|AP|•|BQ|==（2x₁-1）（2x₂-1）=[4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1]=x₁x₂-+       …（11分）
=-+=+=+＞．  …（12分）
當斜率不存在時，|AP|•|BQ|=，∴λ的最小值為．…（13分）
此時，|PQ|=6，|MF₂|=3，S_△PMQ=||MF₂|•|PQ|=9．…（14分）
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的定義，考查直線與雙曲線的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．