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設函數 上滿足，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有
（1）試判斷函數的奇偶性；
（2）試求方程在閉區(qū)間[－2005，2005]上的根的個數，并證明你的結論．

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19.設函數在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．

（Ⅰ）試判斷函數的奇偶性；

（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［－2005，2005］上的根的個數，并證明你的結論．

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    155  

         0

17、解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

18、解: (I)　由于在閉區(qū)間[0，7]上，只有，故．若是奇函數，則，矛盾．所以，不是奇函數．

由

,　從而知函數是以為周期的函數．

若是偶函數，則．又，從而．

由于對任意的（3，7]上，，又函數的圖象的關于對稱，所以對區(qū)間[7，11）上的任意均有．所以，，這與前面的結論矛盾．

所以，函數是非奇非偶函數．

 (II) 由第(I)小題的解答，我們知道在區(qū)間（0，10）有且只有兩個解，并且．由于函數是以為周期的函數，故．所以在區(qū)間[－2000,2000]上，方程共有個解．

在區(qū)間[2000,2010]上，方程有且只有兩個解．因為

，

所以，在區(qū)間[2000,2005]上，方程有且只有兩個解．

在區(qū)間[－2010,－2000]上，方程有且只有兩個解．因為

，

所以，在區(qū)間[－2005,－2000]上，方程無解．

　　綜上所述，方程在[－2005,2005]上共有802個解.

19、[解]（1）

      （2）方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此

.                        

    由于.                         

  （3）[解法一] 當時，.

               ，                              . 又，

       ①  當，即時，取，

       .

       ，

       則.                                                

       ②  當，即時，取，    ＝.

    由 ①、②可知，當時，，.

因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方. 

    [解法二] 當時，.

由 得，

    令 ，解得 或，               

在區(qū)間上，當時，的圖像與函數的圖像只交于一點； 當時，的圖像與函數的圖像沒有交點.    

如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方.

20、解：(Ⅰ)設函數的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則

∵點在函數的圖象上

∴

(Ⅱ)由

當時，，此時不等式無解

當時，，解得

因此，原不等式的解集為

（Ⅲ）

①

②

?）

?）

21、解：（I）∵，

∴要使有意義，必須且，即

∵，且……①    ∴的取值范圍是。

由①得：，∴，。

（II）由題意知即為函數，的最大值，

∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：

（1）當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由知在上單調遞增，故；

（2）當時，，，有=2；

（3）當時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若即時，，

若即時，，

若即時，。

綜上所述，有=。

（III）當時，；

      當時，，，∴，

，故當時，；

當時，，由知：，故；

當時，，故或，從而有或，

要使，必須有，，即，

此時，。

綜上所述，滿足的所有實數a為：或。