(1)求函數的反函數及其定義域, 【查看更多】

設函數f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f（x）=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求a，b應滿足的條件；
（2）在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A、B，點M為函數圖象上的另一點，且其縱坐標y_M＞3，求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標；
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點的有奇數個”是否正確？若正確，給出證明，并舉一例；若不正確，請舉一反例說明．

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設函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定義域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
（3）設H（x）=g（x）-f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．
（4）設H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．

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記函數f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數 $數學公式$ 圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離 $數學公式$ ．在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A₁，A₂，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標y_P＞3，求點P到直線A₁A₂距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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設函數f（x）=2^x-1的反函數為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定義域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
（3）設H（x）=g（x）-f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．
（4）設H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數a的取值范圍．

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設函數f（x）的定義域為D，若存在x∈D，使f（x）=x成立，則稱以（x，x）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f（x）=

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求a，b應滿足的條件；
（2）在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A、B，點M為函數圖象上的另一點，且其縱坐標y_M＞3，求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標；
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點的有奇數個”是否正確？若正確，給出證明，并舉一例；若不正確，請舉一反例說明．

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1－12 BDBDA BABCABD

13．?2

14．2ⁿ^＋¹－n－2

15．7

16．90

17．（1）∵∴.

（2）證明：由已知，

故，

∴ .

18．（1）由得，當時，，顯然滿足，

∴，

∴數列是公差為4的遞增等差數列.

（2）設抽取的是第項，則，.

由，

∵，∴，

由.

故數列共有39項，抽取的是第20項.

19．。

∴

記①

②

①+②得③

，

∴

20．（1）由條件得： .

（2）假設存在使成立，則對一切正整數恒成立.

∴，既.

故存在常數使得對于時，都有恒成立.

21．（1）第1年投入800萬元，第2年投入800×（1－）萬元……，

第n年投入800×（1－）ⁿ^－¹萬元，

所以總投入a_n＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）ⁿ^－¹＝4000［1－（）ⁿ］

同理：第1年收入400萬元，第2年收入400×（1＋）萬元，……，

第n年收入400×（1＋）ⁿ^－¹萬元

b_n＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）ⁿ^－¹＝1600×［（）ⁿ－1］

（2）∴b_n－a_n＞0，1600［（）ⁿ－1］－4000×［1－（）ⁿ］＞0

化簡得，5×（）ⁿ＋2×（）ⁿ－7＞0

設x＝（）ⁿ，5x²－7x＋2＞0

∴x＜，x＞1（舍)，即（）ⁿ＜，n≥5.

22．（文）

（1）當時，

由，即，

又.

（1）

（2）

由（1）得

當

若成立

若故所得數列不符合題意.

當

若

若.

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：

①{a_n} : a_n=0，即0，0，0，…；

②{a_n} : a_n=1，即1，1，1，…；

③{a_n} : a_n=2n－1，即1，3，5，…，

（理）

（1）由已知得：，

∵，

∴或，

∴或.

（2）由，∴，

∴， ∴是等比數列.

∵ ，∴ ，

∴ ，

∵ ，當時，，

. ，

故.

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