求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.

【解析】首先利用已知函數和拋物線作圖，然后確定交點坐標，然后利用定積分表示出面積為，所以得到,由此得到結論為

解：設所求圖形面積為，則

=．即所求圖形面積為．

某化工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示）.如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米²，水池所有墻的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價。

【解析】本試題主要考查導數在研究函數中的運用。首先設變量

設寬為則長為，依題意，總造價

  當且僅當即取等號

（元）得到結論。

設寬為則長為，依題意，總造價

     ………6分

  當且僅當即取等號

（元）……………………10分

故當處理池寬為10米，長為16.2米時能使總造價最低，且最低總造價為38880元

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M，N，交曲線于點P，則△OMN（O為坐標原點）的面積的最小值為________．