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已知橢圓：（），其焦距為，若（），則稱橢圓為“黃金橢圓”．

（1）求證：在黃金橢圓：（）中，、、成等比數列．

（2）黃金橢圓：（）的右焦點為，為橢圓上的

任意一點．是否存在過點、的直線，使與軸的交點滿足？若存在，求直線的斜率；若不存在，請說明理由．

（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓：（）的左、右焦點分別是、，以、、、為頂點的菱形的內切圓過焦點、．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．

觀察數列：

①；②正整數依次被4除所得余數構成的數列；

③

(1)對以上這些數列所共有的周期特征，請你類比周期函數的定義，為這類數列下一個周期數列的定義：對于數列，如果________________________，對于一切正整數都滿足___________________________成立，則稱數列是以為周期的周期數列；

(2)若數列滿足為的前項和，且，證明為周期數列，并求；

(3)若數列的首項，且，判斷數列是否為周期數列，不用證明.