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甘肅省某重點中學在2011年錄用教師時，每一個應(yīng)聘人員都需要進行初審、筆試、面試、試講4輪考查，每輪合格者進入下一輪考查，否則被淘汰．已知某應(yīng)聘人員能通過初審、筆試、面試、試講4輪考查的概率分別為

5

6

，

4

5

，

3

4

，

1

3

，且各輪能否通過互不影響．
（1）求該應(yīng)聘人員至多進入面試的概率；
（2）該應(yīng)聘人員在選拔過程中被考查的環(huán)節(jié)個數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某鉆石的價值V（美元）與其重量W（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
（1）寫出V關(guān)于W的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1：3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；
（3）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為M克拉和N克拉，試用你所學的數(shù)學知識證明：當M=N時，價值損失的百分率最大．（注：價值損失的百分率=

原有價值-現(xiàn)有價值

原有價值

×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）．

某電視臺綜藝頻道主辦一種有獎過關(guān)游戲，該游戲設(shè)有兩關(guān)，只有過了第一關(guān)，才能玩第二關(guān)，每關(guān)最多玩兩次，連續(xù)兩次失敗者被淘汰出局．過關(guān)者可獲獎金，只過第一關(guān)獲獎金900元，兩關(guān)全過獲獎金3600元．某同學有幸參與了上述游戲，且該同學每一次過關(guān)的概率均為

2

3

，各次過關(guān)與否互不影響．在游戲過程中，該同學不放棄所有機會．
（1）求該同學僅獲得900元獎金的概率；
（2）若該同學已順利通過第一關(guān)，求他獲得3600元獎金的概率；
（3）求該同學獲得獎金ξ的數(shù)學期望（精確到元）．

(本題滿分12分)國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值υ(美元)與其重量ω(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．

(1)寫出υ關(guān)于ω的函數(shù)關(guān)系式；(2)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；(3)試用你所學的數(shù)學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大．(注：價值損失的百分率 =  ×100％；在切割過程中的重量損耗忽略不計)