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已知函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

用秦九韶算法求當x＝1.032時多項式f(x)＝3x²＋2x＋3的值時，需要_______次乘法運算，________次加法運算(　　)

A．3　2             B．4　3             C．2　2             D．2　3

下列函數中在區間[1,2]上一定有零點的是                               (　　)

A．f(x)＝3x²－4x＋5                 B．f(x)＝x³－5x－5

C．f(x)＝mx²－3x＋6                 D．f(x)＝e^x＋3x－6

已知函數f(x)＝3x²＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(0，＋∞)．　

(1) 求函數f(x)的解析式；

(2) 已知函數g(x)＝f(x)＋mx－2在(2，＋∞)上單調增，求實數m的取值范圍；

(3) 若對于任意的x∈[－2,2]，f(x)＋n≤3都成立，求實數n的最大值．

已知函數f(x)＝3x²＋mx＋2在區間[1，＋∞)上是增函數，則f(2)的取值范圍是________．