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已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且滿足f（-1）=0對任意實數x，都有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，有f(x)≤(

x+1

2

)2
（1）求f（1）的值；
（2）證明：a＞0、c＞0；
（3）當x∈[-1，1]時，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調的，求證：m≤0或m≥1．

已知數列{a_n}中，a1=

1

2

，且當x=

1

2

時，函數f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x取得極值．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}滿足：b₁=2，bn+1-2bn=

1

an+1

，證明：{

bn

2n

}是等差數列，并求數列{b_n}的通項公式通項及前n項和S_n．

已知定義在R上的函數f（x）和數列{a_n}滿足下列條件：a₁=a，a₂≠a₁，當n∈N^*且n≥2時，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均為非零常數．
（1）若數列{a_n}是等差數列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求數列{b_n}的通項公式；
（3）試研究數列{a_n}為等比數列的條件，并證明你的結論．

已知函數F(x)=

3x+1

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（Ⅰ）證明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(

1

2009

)+F(

2

2009

)+…+F(

2008

2009

)；
（Ⅱ）．已知等差數列{a_n}與{b_n}的前n項和分別為S_n與T_n，且

Sn

Tn

=F(n)．當m＞n時，比較

am

bm

與

an

bn

的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，已知a₁=2，數列{b_n}的公差為d=2．探究在數列{a_n}與{b_n}中是否有相等的項，若有，求出這些相等項由小到大排列后得到的數列{c_n}的通項公式；若沒有，請說明理由．

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求當x＜0時f（x）的解析式；
（2）試確定函數f（x）（x≥0）的單調區間，并證明你的結論；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．