Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且滿足f（-1）=0對任意實數(shù)x，都有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，有f(x)≤(

x+1

2

)2
（1）求f（1）的值；
（2）證明：a＞0、c＞0；
（3）當x∈[-1，1]時，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調(diào)的，求證：m≤0或m≥1．

Answer 1

分析：（1）由條件可知x≤f(x)≤(

x+1

2

)2x∈（0、2）恒成立，取x=1即可求得f（1）的值；
（2）由條件可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，考慮開口和△，找出a、b、c的關(guān)系即可；
（3）已知g（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)≥0或≤0恒成立即可．

解答：解：（1）由條件可知x≤f(x)≤(

x+1

2

)2對任意實數(shù)x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故b=

1

2

，a+c=

1

2

，
由對任意實數(shù)x，都有f（x）-x≥0得ax²+（b-1）x+c≥0，
所以

a＞0 △= (b-1)2  -4ac≤0

，即

a＞0 △=   1 4  -4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

故a＞0，c＞0
（3）由（2）可知f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，g(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

-mx在[-1、1]單調(diào)，
g′(x)=

1

2

x+

1

2

-m≥0或≤0在[-1、1]上恒成立，
所以m≤(

1

2

x+

1

2

)min=0或m≥(

1

2

x+

1

2

)max=1

點評：本題考查二次不等式恒成立問題、已知單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，綜合性較強，難度較大．