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設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：①方程，有實數根②函數的導數滿足.
(I) 若函數為集合M中的任意一個元素，證明：方程只有一個實數根；
(II) 判斷函數是否是集合M中的元素,并說明理由；
(III) 設函數為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，當,且時,證明：.

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一、選擇題：

題號

答案

1、解析：，N＝，

即．答案：．

2、解析：由題意得，

又．

答案：．

3、解析：程序的運行結果是．答案：．

4、解析：與直線垂直的切線的斜率必為4，而，所以，切點為．切線為，即，答案：．

5、解析：由一元二次方程有實根的條件，而，由幾何概率得有實根的概率為．答案：．

6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，所以正確；如果兩個平面與同一條直線垂直，則這兩個平面平行，所以正確；

如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，則這兩個平面平行，所以也正確；

只有選項錯誤．答案：．

7、解析：由題意，得，答案：．

8、解析：的圖象先向左平移，橫坐標變為原來的倍．答案：．

二、填空題：

題號

答案

9、解析：若，則，解得．

10、解析：由題意．

11、解析：

12、解析：令，則，令，則，

令，則，令，則，

令，則，令，則，

…，所以．

13、解析：：；則圓心坐標為．

：由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為，所以要求的最短距離為．

14、解析：由柯西不等式，答案：．

15、解析：顯然與為相似三角形，又，所以的面積等于9cm．

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16、解: (1),    ……………………… 2分

 ∴，………………………………………………… 4分

 解得．………………………………………………………………… 6分

(2)由,得：,     ……………………… 8分

∴    ………………………………… 10分

∴．…………………………………………………………… 12分

17、解：（1）… 2分

則的最小正周期，      …………………………………4分

且當時單調遞增．

即為的單調遞增區間（寫成開區間不扣分）．……6分

（2）當時，當，即時．

所以．      …………………………9分

為的對稱軸．      …………………12分

18、解：

（1）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，

記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分

∵“兩球恰好顏色不同”共種可能，…………………………5分

∴． ……………………………………………………7分

解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗， …………………………2分

∵每次摸出一球得白球的概率為．………………………………5分

∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為． …………………7分

（2）設摸得白球的個數為，依題意得：

，，．

… 10分

∴，……………………………………12分

．……………………14分

19、(1)證明:  連結，與交于點，連結.………………………1分

  是菱形, ∴是的中點. ………………………………………2分

  點為的中點, ∴.   …………………………………3分

  平面平面, ∴平面.  ……………… 6分

(2)解法一:

 平面,平面,∴ .

，∴.  …………………………… 7分

是菱形,  ∴.

，

∴平面.  …………………………………………………………8分

作，垂足為，連接，則,

所以為二面角的平面角. ………………………………… 10分

,∴，.

在Rt△中,=，…………………………… 12分

∴.…………………………… 13分

∴二面角的正切值是. ………………………… 14分

解法二：如圖，以點為坐標原點，線段的垂直平分線所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，令，……………2分

則，,．

∴．  ……………4分

設平面的一個法向量為,

由，得，

令，則，∴.  …………………7分   

平面,平面,

∴.  ………………………………… 8分

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.…………………………… 9分

∴是平面的一個法向量,．………………… 10分

∴，

∴，  …………………… 12分 

∴．…………………………………… 13分 

∴二面角的正切值是.  ……………………… 14分

20、解:圓的方程為,則其直徑長,圓心為,設的方程為,即,代入拋物線方程得:,設，