Question

設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：①方程，有實數根②函數的導數滿足.
(I) 若函數為集合M中的任意一個元素，證明：方程只有一個實數根；
(II) 判斷函數是否是集合M中的元素,并說明理由；
(III) 設函數為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，當,且時,證明：.

Answer 1

(Ⅰ) 令，則，故是單調遞減函數,
所以，方程，即至多有一解，
又由題設①知方程有實數根，
所以，方程有且只有一個實數根…………………………………..4分
(Ⅱ) 易知，，滿足條件②；
令，
則，…………………………………..7分
又在區間上連續，所以在上存在零點，
即方程有實數根，故滿足條件①，
綜上可知，……….…………………9分
(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調遞增，
∴,即，
令，則，故是單調遞減函數，
∴,即，
∴，
則有

略