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已知函數(shù)f(x)=

a2-x2

x-2a

（a＞0）
（1）證明：f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
（2）求f（x）的值域．
（3）若對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x₁，都能構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}，
使其滿足條件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=

x

x+3

，構(gòu)造如下函數(shù)序列f_n（x）：f_n（x）=f[f_n-1（x）]（x∈N^*，且n≥2），其中f₁（x）=f（x），（x＞0），則f₃（x）=，函數(shù)f_n（x）=．

已知函數(shù)f（x）=

x

x+3

，構(gòu)造如下函數(shù)序列f_n（x）：f_n（x）=f[f_n-1（x）]（x∈N^*，且n≥2），其中f₁（x）=f（x），（x＞0），則f₃（x）=，函數(shù)f_n（x）的值域為．

已知函數(shù)f(x)=

x+1-a

a-x

，a∈R．利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：對于定義域中給定的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n∈N^*），…如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若x₁=1，求（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值；
（3）設(shè)T_n=（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）（n∈N^*），試問：是否存在n使得T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006成立，若存在，試確定n及相應(yīng)的x₁的值；若不存在，請說明理由？