Question

已知函數f（x）=

x

x+3

，構造如下函數序列f_n（x）：f_n（x）=f[f_n-1（x）]（x∈N^*，且n≥2），其中f₁（x）=f（x），（x＞0），則f₃（x）=

x

13x+27

，函數f_n（x）的值域為

（0，

2

3n-1

）

．

Answer 1

分析：根據定義分別計算f₁（x），f₂（x），f₃（x），然后根據前三個函數的值域歸納出f_n（x）的表達式，然后利用分式函數求函數的值域即可．

解答：解：根據定義可知f₂（x）=f[f₁（x）]=

x x+3

x x+3 +3

=

x

4x+9

，
f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 4x+9

x 4x+9 +3

=

x

13x+27

，f₄（x）=

x

40x+81

，
所以f_n（x）═

x

1 2 (3n-1)x+3n

=

2

3n-1

?

x

x+ 2?3n 3n-1

＜

2

3n-1

，
所以f_n（x）的值域為（0，

2

3n-1

）．
故答案為：

x

13x+27

，（0，

2

3n-1

）．

點評：本題主要考查數列的遞增公式的應用，利用歸納法歸納出f_n（x）的表達式是解決本題的關鍵．考查學生的觀察分析能力．