題目列表(包括答案和解析)
A是定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ(x)組成的集合：
①對任意的x∈[1，2]，都有φ(2x)∈(1，2)；
②存在常數L(0＜L＜1)，使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ(2x1)－φ(2x2)|≤L|x1－x2|．
(Ⅰ)設φ(2x)＝
，x∈[2，4]，證明：φ(x)∈A
(Ⅱ)設φ(x)∈A，如果存在x0∈(1，2)，使得x0＝φ(2x0)，那么這樣的x0是唯一的；
(Ⅲ)設φ(x)∈A，任取x1∈(1，2)，令xn－1＝φ(2xn)，n＝1，2，…，證明：給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式|xk+p－xk|≤
|x2－x1|
(Ⅰ)設φ(x)=
,x∈［2,4］，證明：φ(x)∈A.
(Ⅱ)設φ(x)∈A，如果存在x0∈(1,2)，使得x0=φ(2x0)，那么這樣的x0是唯一的.
(Ⅲ)設φ(x)∈A，任取x1∈(1,2)，令xn+1=φ(2xn)，n=1,2，…，證明：給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式|xk+p-xk|≤
|x2-x1|.
(1)設φ(x)=
,x∈［2,4］,證明φ(x)∈A;
(2)設φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;
(3)設φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,證明給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式|xk+p-xk|≤
|x2-x1|.
①對任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常數L(0＜L＜1),使得對任意x1、x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(1)設φ(x)=
,x∈［2,4］,證明φ(x)∈A;
(2)設φ(x)∈A,證明如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;
(3)設φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,證明給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式:|xk+p-xk|≤
|x1-x2|.
，證明：φ（x）∈A；
。一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
A
B
A
B
1. A∵
∴
即
， 
，
∴
故選A；
C 
3 B 
4. D．由奇函數
可知
，而
，則
，當
時，
；當
時，
，又在
上為增函數，則奇函數在
上為增函數，
.
5 A 如圖知
是斜邊為3 的等腰直角三角形，
是直角邊為1等腰直角三角形，區域的面積
6. B 
，而
所以
，得
7. A 
，即
8. B
，所以解集為
，
又
，因此選B。
二、填空題
9. （－
，1）. 10. 
. 11. 
12. 
13. 
.
14. 
.
9. 
，
，
∴點M的直角坐標為（－，1）。
10.
11. 聯立解方程組
解得
，
即兩曲線的交點為
12. . ∴
，
13. . 
14. .依題意得
所以
，
三、解答題
15解：解法1：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000. ①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.
廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2
=18500+
當且僅當25a＝40b時等號成立，此時b=
,代入①式得a=120，從而b=75.
即當a=120，b=75時,S取得最小值24500.
故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
解法2：設廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，
其中x＞20，y＞25
兩欄面積之和為2(x－20)
,由此得y=
廣告的面積S=xy=x(
)＝x,
整理得S=
因為x－20＞0，所以S≥2
當且僅當
時等號成立，
此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=
+25,得y＝175，
即當x=140，y＝175時，S取得最小值24500，
故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
16. 證明：因為
為正實數，由平均不等式可得
即
所以
，
而
所以 
17. 解：（Ⅰ）
圖像如下：
（Ⅱ）不等式
，即
，
由
得
．
由函數圖像可知，原不等式的解集為
18.解：函數的定義域為
，且
19. （1）A
=
（2）
．
∴
20．解：對任意
,
,
,
,所以
,對任意的
，
，
，所以
0<
,令=
，
，
,所以
．
反證法:設存在兩個
使得
,
則
由
，得
，所以
，矛盾，故結論成立。
，所以
+…
．
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