Question

A是由定義在［2,4］上且滿足如下條件的函數φ(x)組成的集合:

①對任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常數L(0＜L＜1),使得對任意x₁、x₂∈［1,2］,都有|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|.

(1)設φ(x)=,x∈［2,4］,證明φ(x)∈A;

(2)設φ(x)∈A,證明如果存在x₀∈(1,2),使得x₀=φ(2x₀),那么這樣的x₀是唯一的;

(3)設φ(x)∈A,任取x₁∈(1,2),令x_n+1=φ(2x_n),n=1,2,…,證明給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式:|x_k+p-x_k|≤|x₁-x₂|.

Answer 1

證明：(1)由題設,對任意x∈［1,2］有φ(2x)= ,x∈［1,2］,

∵≤φ(2x)≤,1＜＜＜2,

∴φ(2x)∈(1,2).

又∵對任意的x₁,x₂∈［1,2］,

|φ(2x₁)-φ(2x₂)|=|x₁-x₂|,

而6＜++＜9,

∴.

令=L,顯然存在常數L(0＜L＜1),

使得|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|.

綜上所述,可知φ(x)∈A.

(2)(運用反證法證明)

設存在兩個實數x₁、x₂∈(1,2)且x₁≠x₂,使得x₁=φ(2x₁),x₂=φ(2x₂).

因為φ(x)∈A,則由

|x₁-x₂|=|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|,得|x₁-x₂|≤L|x₁-x₂|,

∴L≥1,這與題設0＜L＜1矛盾,故假設不成立.

從而所證命題結論成立.

(3)因為φ(x)∈A,任取x₁∈(1,2),且x_n+1=φ(2x_n),n=1,2,…,

∴|x_n+1-x_n|=|φ(2x_n)-φ(2x_n-1)|

≤L|x_n-x_n-1|

=L|φ(2x_n-1)-φ(2x_n-2)|

≤L²|x_n-1-x_n-2|

=L²|φ(2x_n-2)-φ(2x_n-3)|

≤L³|x_n-2-x_n-3|=…

≤L^n-1|x₂-x₁|(其中0＜L＜1).

∴|x_k+p-x_k|=|(x_k+p-x_k+p-1)+(x_k+p-1-x_k+p-2)+…+(x_k+1-x_k)|

≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^k+p-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|

=(L^k+p-2+L^k+p-3+…+L^k-1)|x₂-x₁|=|x₂-x₁|,

故對于給定正整數k,對任意的正整數p不等式|x_k+p-x_k|≤|x₂-x₁|均成立.