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A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ（x）組成的集合：
①對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2） ；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，
（Ⅰ）設，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么這樣的x₀是唯一的；
（Ⅲ）設φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=φ（2x_n），n=1，2，…，證明：給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式。

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

D

A

B

A

B

1. A∵  ∴ 即， ，

∴  故選A；

2  C   

3  B  

4. D．由奇函數可知，而，則，當時，；當時，，又在上為增函數，則奇函數在上為增函數，.

5  A  如圖知是斜邊為3 的等腰直角三角形，是直角邊為1等腰直角三角形，區域的面積

6. B    ，而

        所以，得

7. A  

      ，即

8. B  ，所以解集為，

又，因此選B。

二、填空題

9. （－，1）.   10. .   11.    12.    13. .

14. .

9. ，，

∴點M的直角坐標為（－，1）。

10.

11.    聯立解方程組解得，

即兩曲線的交點為

12. . ∴，

13. .

14. .依題意得

所以，

三、解答題

15解：解法1：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.      ①

廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.

廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

當且僅當25a＝40b時等號成立，此時b=,代入①式得a=120，從而b=75.

即當a=120，b=75時,S取得最小值24500.

故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.

解法2：設廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25

兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=

廣告的面積S=xy=x()＝x,

整理得S=

因為x－20＞0，所以S≥2

當且僅當時等號成立，

此時有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即當x=140，y＝175時，S取得最小值24500，

故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.

16. 證明：因為為正實數，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以

17. 解：（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．

由函數圖像可知，原不等式的解集為

18.解：函數的定義域為，且

19. （1）A

=

（2）

．

          ∴

20．解：對任意,,,,所以,對任意的，

，

，所以

0<

,令=，，

,所以．

反證法:設存在兩個使得,則

由，得，所以，矛盾，故結論成立。

，所以

+…

．