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76 本題對(duì)于文科考生是一道難題, 對(duì)于理科考生是一道容易題, 區(qū)分度都很好. 相比之下, 文科考生得分較分散, 分布呈現(xiàn)兩頭大中間小狀態(tài), 得零分的占40%, 得滿分的占31%. 僅寫出A.B.C三個(gè)角的關(guān)系得1~2 者占11%, 能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式得到3~4者占8%, 將題設(shè)函數(shù)化為半角正弦函數(shù)的表示式, 但未正確配平方得5~6分者占4%. 理科考生得分多在5分以上, 達(dá)81%, 得滿分的就有65%, 只有7%的卷面為零分. [考查意圖] 本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變形的方法.考查推理和運(yùn)算能力. [解答分析] 首先應(yīng)設(shè)法將題設(shè)函數(shù)中的三角函數(shù)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)式, 這可由題設(shè)A.B.C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系進(jìn)行; 然后根據(jù)得到的函數(shù)式設(shè)法求最大值, 這可用“換元的思想實(shí)現(xiàn). 下面列出兩種解法. 【查看更多】

（本題6分）一次期中考試中，A、B、C、D、E五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語成績(jī)等有關(guān)信息如下表所示：（單位：分）

A

B

C

D

E

極差

平均分

標(biāo)準(zhǔn)差

數(shù)學(xué)

71

72

69

68

70

英語

88

82

94

85

76

85

（1）填寫表格中的空檔；

（2）為了比較不同學(xué)科考試成績(jī)的好與差，采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇，標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算公式是：標(biāo)準(zhǔn)分＝（個(gè)人成績(jī)－平均成績(jī)）÷成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差。從標(biāo)準(zhǔn)分看，標(biāo)準(zhǔn)分大的考試成績(jī)更好。請(qǐng)問A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)與英語哪個(gè)學(xué)科考得更好？

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（本題6分）一次期中考試中，A、B、C、D、E五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語成績(jī)等有關(guān)信息如下表所示：（單位：分）

A

B

C

D

E

極差

平均分

標(biāo)準(zhǔn)差

數(shù)學(xué)

71

72

69

68

70

英語

88

82

94

85

76

85

（1）填寫表格中的空檔；

（2）為了比較不同學(xué)科考試成績(jī)的好與差，采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇，標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算公式是：標(biāo)準(zhǔn)分＝（個(gè)人成績(jī)－平均成績(jī)）÷成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差。從標(biāo)準(zhǔn)分看，標(biāo)準(zhǔn)分大的考試成績(jī)更好。請(qǐng)問A同學(xué)在本次考試中，數(shù)學(xué)與英語哪個(gè)學(xué)科考得更好？

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同學(xué)們可能都知道，對(duì)于一個(gè)整數(shù)，如果它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和可以被3整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能夠被3整除，例如，一個(gè)四位數(shù)，千位上的數(shù)字是a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字為c，個(gè)為上的數(shù)字為d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個(gè)四位數(shù)就可以被3整除．
（1）你會(huì)證明這個(gè)結(jié)論嗎？寫出你的論證過程（以這個(gè)四位數(shù)為例即可）．
（2）通過本題的證明，你能總結(jié)出能被9整除的整數(shù)的特點(diǎn)嗎？不必證明．

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實(shí)驗(yàn)與探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)應(yīng)的邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易證：a²=b（b+c）
（2）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．本題第一問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角△ABC，如圖2，∠A=2∠B，關(guān)系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．
歸納與發(fā)現(xiàn)
由以上的證明，可以得到關(guān)于倍角三角形的一個(gè)結(jié)論：一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于另一個(gè)角的兩倍，2倍角所對(duì)邊的平方等于一倍角所對(duì)邊乘該邊與第三邊的和．
運(yùn)用與推廣
（3）（2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．則BC=

C

（A）7

2

（B）10 （C）

105

（D）7

3

（4）是否存在一個(gè)三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的△ABC？證明你的結(jié)論．

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某移動(dòng)通訊公司設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者繳50元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘再付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘，付話費(fèi)0.6元（本題的通話均指市內(nèi)通話）．若一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘（x取整數(shù)），“全球通”和“神州行”的付費(fèi)分別為y₁元和y₂元．
（1）用含x的代數(shù)式分別表示y₁和y₂，則y₁=

50+0.4x

，y₂=

0.6x

；
（2）在一個(gè)月內(nèi)對(duì)于某個(gè)通話時(shí)間會(huì)出現(xiàn)兩種方式費(fèi)用相同嗎？請(qǐng)計(jì)算說明；
（3）若一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間分別為200分鐘、250分鐘、300分鐘時(shí)，那么選擇哪種移動(dòng)通訊業(yè)務(wù)更合算些？

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