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（2007•浦東新區二模）已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（1）求拋物線C的方程．
（2）設直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），M是弦AB的中點，過M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，得到△ABD；再分別過弦AD、BD的中點作平行于x軸的直線依次交拋物線C于點E，F，得到△ADE和△BDF；按此方法繼續下去．
解決下列問題：
①求證：a2=

16(1-kb)

k2

；
②計算△ABD的面積S_△ABD；
③根據△ABD的面積S_△ABD的計算結果，寫出△ADE，△BDF的面積；請設計一種求拋物線C與線段AB所圍成封閉圖形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積．

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某學校進行體檢，現得到所有男生的身高數據，從中隨機抽取50人進行統計（已知這50人身材均介于155cm到195cm之間），現將抽取結果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，并按此分組繪制如下圖所示的頻率分布直方圖，其中，第六組和第七組還沒有繪制完成，已知第一組與第八組人數相同，第六組的人數為4人．
（1）求第七組的頻率；
（2）若從身高屬于第一組和第六組的所有男生中隨機抽取兩名男生，求兩人身高差距不超過5cm的概率P．

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說明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.

    二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.

1. B   2. C    3. B   4.C   5.D    6.A   7. B   8. A    9. C   10. C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.

11. 1       12.      13. 2       14.         15. ①③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本題主要考查三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考查學生的運算求解能

力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）因為，

         兩邊同時平方得

     .                      ………………………………………（4分）

     又，

     所以.              ………………………………………（6分）

       （Ⅱ）因為，，

             所以，得.

             又,知.             …………………（9分）

                  .              ………………………………………（13分）

17. 本題主要考查線線位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證明：連結，

側棱底面ABC，

，又.

平面.

又平面，

 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………（3分）

，

四邊形為正方形，

.

， 平面 .

又平面，. 　　　　　　　　…………（6分）

（Ⅱ）.

平面.

又， .

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系-xyz，設AP=x，則

                、、、.

        　　    知面的一個法向量為，　　　　　      ……（9分）

設面的一個法向量為，

        　　     ， .

        　　   由   得

        　　   令， 　          ………（11分）

               依題意：=

               解得（不合題意，舍去），

    　         時，二面角的大小為. 　 …………（13分）

18．本題主要考查數列與不等式等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，

考查應用意識. 滿分13分.

    解：設第一年（今年）的汽車總量為，第n年的汽車總量為，則

，

…

.

數列構成的首項為80000，公差為2000的等差數列，

        .　　 ………………………（4分）

若洗車行A從今年開始經過n年可以收回購買凈化設備的成本. 則（）-20000n≥900000，………………………（8分）

        整理得，

        因為，所以　.

答：至少要經過6年才能收回成本.　…………………………………………（13分）

19．本題主要考查直線與拋物線的位置關系、等比數列求和等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）依題意得：，解得.

所以拋物線方程為 . ………………………………………………（3分）

（Ⅱ）若，即直線AB垂直于x軸，不防設，

             由又由拋物線對稱性可得：.

　　 又，得  ，故S_△ABD=.　　 …………………………（4分）

若，設直線AB方程：，

由方程組消去得：.（※）

依題意可知：.

由已知得，.  ……………………………………（5分）

由，得，

即，整理得.

所以 . 　　　 …………………………………………（6分）

中點，

所以點，

依題意知.　　

又因為方程（※）中判別式，得.

所以 ，又，

所以. 

又為常數，故的面積為定值.  …………………………………（9分）

（Ⅲ）依題意得：…，. 

故…

 ＜.  　　　　　………………………………（13分）

　　注：本題第（Ⅱ）問另解，參照本標準給分；第（Ⅲ）問若用定積分證明，同樣給分.

20. 本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數

性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.

當時， ，.

令，解得.

當時，；當時， .

又，

所以的極小值為，無極大值 . …………………………（3分）

（Ⅱ）

 . 　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 . 

若，

①當時，，

令，得或；

令，得.

②當時，.

③當時，得，

令，得或；

令，得.

綜上所述，當時，的遞減區間為，遞增區間為.　

當時，的遞減區間為；遞增區間為.

當時，遞減區間為.當時，的遞減區間為，遞增區間為.　 …………………………（9分）

（Ⅲ）當時，，

由，知時， . ， .

依題意得： 對一切正整數成立. 　……………（11分）

令 ，則（當且僅當時取等號）.

又在區間單調遞增，得，

故，又為正整數，得，

當時，存在，，

對所有滿足條件.

所以，正整數的最大值為32. 　　　　…………………………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法與變換等基本知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思

         想. 滿分7分.

         解：PQ＝，

             PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

            .

　　        所以　　　　　　　　　　　　　　　………………………（3分）

　　         直線任取點，則點在直線上，

　　         故，又，得

　　         所以　　　　           ………………………………………（7分）

（2）本題主要考查直線極坐標方程和橢圓參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.

        解：由題意知直線和橢圓方程可化為：

            ，               ①

            ．                ②　　　　　  …………………………（２分）

①②聯立，消去得：，解得，．

設直線與橢圓交于A、B兩點，則

　        ．

故所求的弦長為．　　　　      &n