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已知函數f（x）是區間D⊆[0，+∞）上的增函數，若f（x）可表示為f（x）=f₁（x）+f₂（x），且滿足下列條件：①f₁（x）是D上的增函數；②f₂（x）是D上的減函數；③函數f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），則稱函數f（x）是區間D上的“偏增函數”．
（1）（i） 問函數y=sinx+cosx是否是區間(0，

π

4

)上的“偏增函數”？并說明理由；
（ii）證明函數y=sinx是區間(0，

π

4

)上的“偏增函數”．
（2）證明：對任意的一次函數f（x）=kx+b（k＞0），必存在一個區間D⊆[0，+∞），使f（x）為D上的“偏增函數”．

（2013•宜賓二模）已知函數f_t（x）=

1

1+x

-

1

(1+x)2

（t-x），其中t為正常數．
（Ⅰ）求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）設數列{a_n}滿足：a₁=

5

3

，3a_n+1=a_n+2，（1）求數列{a_n}的通項公式a_n； （2）證明：對任意的x＞0，

1

an

≥f

2

3n

（x）（n∈N^*）；
（Ⅲ）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

n2

n+1

．

20、集合M是具有以下性質的函數f（x）的全體：對任意的s＞0，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（1）試判斷函數f₁（x）=log₂（x+1），f₂（x）=2^x-1是否屬于M；
（2）證明：對任意的x＞0，x+m＞0（m∈R，m≠0），m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（3）證明：對于任意給定的正數ε＞0，總存在正數δ＞0，當x∈（0，δ]時，f（x）＜ε．