Question

（2013•宜賓二模）已知函數f_t（x）=

1

1+x

-

1

(1+x)2

（t-x），其中t為正常數．
（Ⅰ）求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）設數列{a_n}滿足：a₁=

5

3

，3a_n+1=a_n+2，（1）求數列{a_n}的通項公式a_n； （2）證明：對任意的x＞0，

1

an

≥f

2

3n

（x）（n∈N^*）；
（Ⅲ）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，確定f_t（x）在區間（0，t）上單調遞增，在區間（t，+∞）上單調遞減，從而可求函數f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）（1）證明數列{a_n-1}為等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式a_n； 
（2）證法一：從已有性質結論出發；證法二：作差比較法，即可得到結論；
（Ⅲ）證法一：從已經研究出的性質出發，實現求和結構的放縮；證法二：應用柯西不等式實現結構放縮，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，可得ft′(x)=

2(t-x)

(1+x)3

(x＞0)，…（2分）
所以，ft′(x)＞0?0＜x＜t，ft′(x)＜0?x＞t，…（3分）
則f_t（x）在區間（0，t）上單調遞增，在區間（t，+∞）上單調遞減，
所以，ft(x)max=ft(t)=

1

1+t

．…（4分）
（Ⅱ）（1）解：由3a_n+1=a_n+2，得an+1-1=

1

3

(an-1)，又a1-1=

2

3

，
則數列{a_n-1}為等比數列，且an-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

，…（5分）
故an=

2

3n

+1=

2+3n

3n

為所求通項公式．…（6分）
（2）證明：即證對任意的x＞0，

1

an

≥f

2

3n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)（n∈N^*）…（7分）
證法一：（從已有性質結論出發）
由（Ⅰ）知f

2

3n

(x)max=f

2

3n

(

2

3n

)=

1

1+ 2 3n

=

3n

3n+2

=

1

an

…（9分）
即有

1

an

≥f

2

3n

(x)(n∈N*)對于任意的x＞0恒成立．…（10分）
證法二：（作差比較法）
由an=

2

3n

+1＞0及an-1=

2

3n

＞0…（8分）

1

an

-f

2

3n

(x)=

1

an

-

1

1+x

+

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

1

an

-

1

1+x

+

1

(1+x)2

(an-1-x)
=

1

an

-

2

1+x

+

an

(1+x)2

=[

1 an

-

an

1+x

]2≥0…（9分）
即有

1

an

≥f

2

3n

(x)(n∈N*)對于任意的x＞0恒成立．…（10分）
（Ⅲ）證明：證法一：（從已經研究出的性質出發，實現求和結構的放縮）
由（Ⅱ）知，對于任意的x＞0都有

1

an

≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，
于是，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n

k=1

[

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3k

-x)]=

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-nx)
…（11分）對于任意的x＞0恒成立
特別地，令1-

1

3n

-nx0=0，即x0=

1

n

(1-

1

3n

)＞0，…（12分）
有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n

1+x0

=

n

1+ 1 n (1- 1 3n )

=

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

，故原不等式成立．…（14分）
證法二：（應用柯西不等式實現結構放縮）
由柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≤(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)(

y

2 1

+

y

2 2

+…+

y

2 n

)
其中等號當且僅當x_i=ky_i（i=1，2，…n）時成立．
令xi=

1

ai

，yi=

ai

，可得(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)(a1+a2+…+an)≥(

1

a1

•a1+

1

a2

•a2+…+

1

an

•an)2=n2
則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n2

a1+a2+…+an

而由an=

2

3n

+1，所以a1+a2+…+an=n+2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=n+1-

1

3n

故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

，所證不等式成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查數列的通項，考查數列與不等式的綜合，考查學生分析解決問題的能力，難度大．