Question

（2013•宜賓二模）已知函數f(x)=

-x2-2x+a(x＜0) f(x-1)(x≥0)

，且函數y=f（x）-x恰有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（0，+∞）

B．[-1，0）

C．[-1，+∞）

D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得當x≥0時，函數的周期為1，而當x∈[-1，0）時，y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，圖象為開口向下的拋物線，結合二次函數的圖象，分類討論可得．

解答：解：∵當x≥0時，f（x）=f（x-1），
∴此時的周期為1，對于所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相當于在[-1，0）重復的周期函數，
當x∈[-1，0）時，y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，
圖象為開口向下的拋物線，對稱軸x=-1，頂點（-1，1+a），
結合二次函數的圖象可知：
（1）如果a＜-1，函數y=f（x）-x至多有2個不同的零點；
（2）如果a=-1，則y有一個零點在區間（-1，0），有一個零點在（-∞，-1），一個零點是原點；
（3）如果a＞-1，則有一個零點在（-∞，-1），y右邊有兩個零點，
綜上可得：實數a的取值范圍是[-1，+∞）
故選：C．

點評：本題考查函數的零點，轉化以及數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．