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在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=

1

4

x²．實數p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點，A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0），作L的切線交y軸于點B．證明：對線段AB上的任一點Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

2

；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點分別為E（p₁，

1

4

p

2 1

），E′（p₂，

1

4

p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F′．線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=

|p1|

2

．
（3）設D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

1

4

（x+1）²-

5

4

}．當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）

設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．求：

（Ⅰ）求實數b 的取值范圍；

（Ⅱ）求圓C 的方程；

（Ⅲ）問圓C 是否經過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．