Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+y²=4和直線l：2x+y-10=0，點P為圓C上任意一點．
（1）若直線l'∥l，且l'被圓C截得的弦長為2

3

，求直線l'的方程；
（2）過點P作圓C的切線，設此切線交直線l于點T，若PT=

21

，求點T的坐標；
（3）已知A（2，2），是否存在定點B（m，n），使得

PA

PB

為定值k（k＞1）？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據平行直線的直線系方程，我們設出直線l'的方程，進而根據圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到l'的距離d與半弦長

l

2

=

3

及半徑r=2構成直角三角形，滿足勾股定理，求出圓心到直線的距離，進而由點到直線距離公式，構造關于m的方程，解方程即可求出直線l'的方程；
（2）根據過點P作圓C的切線，設此切線交直線l于點T，且PT=

21

，我們可得CT²=25，T點坐標為（x，y）根據兩點之間距離公式，即可求出點T的坐標；
（3）存在（1，1）點為B點時，滿足

PA

PB

為定值

3

＞1，由兩點間距離公式，結合P點在圓上滿足x²+y²=4，易證得結論．

解答：解：（1）直線l'∥l，
可設l'：2x+y+m=0
∵l'被圓C截得的弦長為2

3

，
故圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到l'的距離d與半弦長

l

2

=

3

及半徑r=2構成直角三角形，滿足勾股定理
即d²=r²-（

l

2

）²=4-3=1，即d=1
又∵弦心距d=

|m|

5

∴1=

|m|

5

解得m=±

5

即l'的方程為：2x+y±

5

=0
（2）∵PT與圓切于P點
∴CT²=PT²+CP²=25
設T點坐標為（x，y）則

2x+y-10=0 x2+y2=25

解得

x=3 y=4

或

x=5 y=0

即T點坐標為（3，4）或（5，0）
（3）存在（1，1）點為B點時，滿足

PA

PB

為定值

2

＞1滿足要求，
理由如下：
P點到A（2，2）的距離平方為（x-2）²+（y-2）²=x²+y²-4x-4y+8=12-4x-4y
P點到B（1，1）的距離平方為（x-1）²+（y-1）²=x²+y²-2x-2y+2=6-2x-2y
即

PA2

PB2

=

12-4x-4y

6-2x-2y

=2
故

PA

PB

=

2

＞1

點評：本題考查的知識點是直線與圓的方程及應用，直線與圓相交的性質，直線與圓相切的性質，點到點的距離公式，點到直線的距離公式，其中（1）的關鍵是圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到l'的距離d與半弦長

l

2

=

3

及半徑r=2構成直角三角形，滿足勾股定理；（2）的關鍵是根據已知求出CT²=25，（3）的關鍵是求出B點坐標．