題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）設
是橢圓
上的兩點，已知向量
,若
且橢圓的離心率e=,短軸長為
，
為坐標原點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ高☆考♂資♀源*網）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由
（本小題滿分12分）設
是橢圓
上的兩點，已知向量
,若
且橢圓的離心率e=,短軸長為
，
為坐標原點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由
（本小題滿分12分）設
是橢圓
上的兩點，已知向量
,若
且橢圓的離心率e=,短軸長為
，
為坐標原點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ高☆考♂資♀源*網）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由
（本小題滿分12分）設
是橢圓
上的兩點，已知向量
,若
且橢圓的離心率e=,短軸長為
，
為坐標原點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由
（本小題滿分12分） 已知橢圓
的離心率
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切。（I）求a與b；（II）設橢圓的左，右焦點分別是F1和F2，直線
且與x軸垂直，動直線
軸垂直，
于點P，求線段PF1的垂直平分線與
的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型。
一、
1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．C
11．D 12．A
【解析】
5．解：，則．
6．解：線性規劃問題可先作出可行域（略），設，則，可知在點（1，1）處取最小值，．
7．解：，由條件知曲線在點（0，1）處的切線斜率為，則．
8．解：如圖
正四棱錐中，取中點，連接、，易知就是側面與底面所成角，面，則．
9．解：，展開式中含的項是，其系數是．
10．解：，其值域是．
11．解：，設離心率為，則，由知．
12．解：如圖
書館
正四面體中，是中心，連，此四面體內切球與外接球具有共同球心，必在上，并且等于內切球半徑，等于外接球半徑．記面積為，則，從而
．
二、填空題
13．．
解：，與共線．
14．120種．
解：按要求分類相加，共有種，或使用間接法：種．
15．．
解：曲線 ①，化作標準形式為，表示橢圓，由于對稱性，取焦點，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：，即 ②，聯立式①與式②消去得：
，由弦長公式得：．
16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．
充要條件②：底面是正三角形，且三條側棱長相等，
再如：底面是正三角形，且三個側面與底面所成角相等；底面是正三角形，且三條側棱與底面所成角相等；三條側棱長相等，且三個側面與底面所成角相等；三個側面與底面所成角相等，三個側面兩兩所成二面角相等．
三、解答題
17．解：設等差數列的公差為、、成等比數列，即，
，得或．
時是常數列，，前項和
時，的前項和
或．
18．解：，則，，．
由正弦定理得：
，
，則
．
19．解：已知甲擊中9環、10環的概率分別是0．3、0．2，則甲擊中8環及其以下環數的概率是0．5；乙擊中9環、10環的概率分別為0．4、0．3，則乙擊中8環及其以下環數的概率是0．3；丙擊中9環、10環的概率是0．6、0．4，0．6+0．4=1，則丙擊中8環及其以下環數是不可能事件．
（1）記在一輪比賽中“丙擊中的環數不超過甲擊中的環數”為事件，包括“丙擊中9環且甲擊中9或10環”、“丙擊中10環且甲擊中10環”兩個互斥事件，則
．
（2）記在一輪比賽中，“甲擊中的環數超過丙擊中的環數”為事件，“乙擊中的環數超過丙擊中的環數”為事件，則與相互獨立，且，．
所以在一輪比賽中，甲、乙擊中的環數都沒有超過丙擊中的環數的概率為：
．
20．（1）證：已知是正三棱柱，取中點，中點，連，，則、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標系，又已知，
則．
，，則，又因與相交，故面．
（2）解：由（1）知，是面的一個法向量．
，設是面的一個法向量，則①，②，取，聯立式①與式②解得，則．
二面角是銳二面角，記其大小為．則
，
二面角的大小，亦可用傳統方法解決（略）．
21．解：．
（1）在處取得極值，則．
（2），
恒成立，必有解．
易知函數圖象（拋物線）對稱軸方程是．
在上是增函數，則時恒有，進而必有（數形結合）
或或，
故的取值范圍是：．
22．解：（1）已知，求得線段的兩個三等分點、，直線過時，，直線過時，，故或．
（2）已知是橢圓短軸端點和焦點，易求得橢圓方程是：，所在直線的方程為．
直線與橢圓相交于、，設，，由直線與線段相交（交點不與、重合）知．
點在橢圓上，則，解得到直線的距離
，
點到直線的距離；
設，則，由知，則：
，
當即時，取到最大值．
，0與中，0距更遠，當且時，
，
．
∴四邊形的面積，當時，．
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