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如圖，一列載著危重病人的火車從O地出發，沿射線OA方向行駛，其中sina=

10

10

，在距離O地5a（a為正常數）千米，北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中sinβ=

3

5

，現120指揮中心緊急征調離O地正東p千米B處的救護車，先到N處載上醫學專家，再全速趕往乘有危重病人的火車，并在C處相遇．經計算，當兩車行駛的路線與OB所圍成的三角形OBC面積S最小時，搶救最及時．
（1）在以O為原點，正北方向為y軸的直角坐標系中，求射線OA所在的直線方程；
（2）求S關于p的函數關系式S=f（p）；
（3）當p為何值時，搶救最及時？

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如圖，以長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的一個頂點D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．已知點B₁的坐標是（2，1，1）．
（1）證明向量

AD1

，

A1C1

，

BA1

是共面向量；
（2）求異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值；
（3）求二面角C-AC₁-D的平面角的余弦值．

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如圖，在長方體AC₁中，AB=BC=2，AA1=

2

，點E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所為直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，試用向量方法解決下列問題：
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．

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如圖，在長方體AC₁中，，點E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所為直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，試用向量方法解決下列問題：
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的正弦值．

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如圖，已知定點F（-1，0），N（1，0），以線段FN為對角線作周長是4的平行四邊形MNEF．平面上的動點G滿足||=2（O為坐標原點）
（I）求點E、M所在曲線C₁的方程及動點G的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）已知過點F的直線l交曲線C₁于點P、Q，交軌跡C₂于點A、B，若||∈（），求△NPQ內切圓的半徑的取值范圍．

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1. 構造向量，，所以，.由數量積的性質，得，即的最大值為2.

2. ∵，令得，所以，當時，，當時，，所以當時，.

3.∵，∴，，又，∴，則，所以周期.作出在上的圖象知：若，滿足條件的（）存在，且，關于直線對稱，，關于直線對稱，∴；若，滿足條件的（）存在，且，關于直線對稱，，關于直線對稱，

∴. 

4. 不等式（）表示的區域是如圖所示的菱形的內部，

∵，

當，點到點的距離最大，此時的最大值為；

當，點到點的距離最大，此時的最大值為3.

5. 由于已有兩人分別抽到5和14兩張卡片，則另外兩人只需從剩下的18張卡片中抽取，共有種情況.抽到5 和14的兩人在同一組，有兩種情況:

(1) 5 和14 為較小兩數，則另兩人需從15～20這6張中各抽1張,有種情況；

(2) 5 和14 為較大兩數，則另兩人需從1～4這4張中各抽1張,有種情況.

于是，抽到5 和14 兩張卡片的兩人在同一組的概率為.

6. ∵，∴，

設，，則.

作出該不等式組表示的平面區域（圖中的陰影部分）.

令，則，它表示斜率為的一組平行直線，易知，當它經過點時，取得最小值.

解方程組，得，∴