Question

如圖，一列載著危重病人的火車從O地出發，沿射線OA方向行駛，其中sina=

10

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，在距離O地5a（a為正常數）千米，北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中sinβ=

3

5

，現120指揮中心緊急征調離O地正東p千米B處的救護車，先到N處載上醫學專家，再全速趕往乘有危重病人的火車，并在C處相遇．經計算，當兩車行駛的路線與OB所圍成的三角形OBC面積S最小時，搶救最及時．
（1）在以O為原點，正北方向為y軸的直角坐標系中，求射線OA所在的直線方程；
（2）求S關于p的函數關系式S=f（p）；
（3）當p為何值時，搶救最及時？

Answer 1

分析：（1）由其中sina=

10

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，我們根據同角三角函數關系，易求出直線OA的斜率，進而得到OA所在直線的方程．
（2）由在距離O地5a（a為正常數）千米，北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中sinβ=

3

5

，我們可以得到直線BC的參數方程，聯立直線OA與BC的方程，可以得到C點的坐標，代入三角形面積公式，即可得到一個S關于p的函數關系式S=f（p）；
（3）由（2）的結論，根據求函數最小值的方法，易得結論．

解答：解：（1）由sina=

10

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得tana=

1

3

，
∴直線OA的方程為y=3x．
（2）設點N（x_o，y_o），則x_o=5asinβ=3a，y_o=5acosβ=4a，
∴N（3a，4a）又B（p，0），∴直線BC的方程為y=

4a

3a-p

(x-p)．
由

y=3x y= 4a 3a-p (x-p)

得C的縱坐標yc=

12ap

3p-5a

(p＞

5

3

a)，
∴三角形OBC面積S=

1

2

|OB|•|yc|=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．
（3）由（2）知S=

6ap2

3p-5a

=

6a

3 p - 5a p2

=

6a

-5a( 1 p - 3 10a )2+ 9 20a

．
∵p＞

5

3

a，∴0＜

1

p

＜

3

5a

.∴

1

p

=

3

10a

時，Smin=

40

3

a2．
因此，當

10a

3

千米時，搶救最及時．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．