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在函數的圖象上有、、三點，橫坐標分別為其中．

⑴求的面積的表達式；

⑵求的值域．

【解析】由題意利用分割可先表示三角形ABC的面積，然后應用對數運算性質及二次函數的性質求解函數的最大值，屬于知識的簡單綜合.

 

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側棱．

　（１）求三棱錐的體積；

　（２）求直線與平面所成角的正弦值；

　（３）若棱上存在一點，使得，當二面角的大小為時，求實數的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

       （4’）

,設平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設平面的法向量為，由得，      （10’）

 

已知曲線的參數方程是（是參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線:的極坐標方程是=2，正方形ABCD的頂點都在上，且A,B,C,D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2，）.

(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標；

 (Ⅱ)設P為上任意一點，求的取值范圍.

【命題意圖】本題考查了參數方程與極坐標，是容易題型.

【解析】(Ⅰ)由已知可得，，

，，

即A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1），

(Ⅱ)設，令=，

則==，

∵，∴的取值范圍是[32,52]

 

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,，為數列的前n項和．

（1）求數列的通項公式和數列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當n為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當且僅當m=2， n=12時，數列中的成等比數列

 

如圖，直線與拋物線交于兩點，與軸相交于點，且.

（1）求證：點的坐標為；

（2）求證：；

（3）求的面積的最小值.

【解析】設出點M的坐標，并把過點M的方程設出來.為避免對斜率不存在的情況進行討論，可以設其方程為,然后與拋物線方程聯立消x，根據,即可建立關于的方程.求出的值.

（2）在第（1）問的基礎上，證明：即可.

（3）先建立面積S關于m的函數關系式，根據建立即可，然后再考慮利用函數求最值的方法求最值.