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又.所以的取值范圍為. ----12分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數 R).

(Ⅰ)若 ,求曲線  在點  處的的切線方程;

(Ⅱ)若  對任意  恒成立,求實數a的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中,利用當時,

因為切點為(), 則,                 

所以在點()處的曲線的切線方程為:

第二問中,由題意得,即可。

Ⅰ)當時,

,                                  

因為切點為(), 則,                  

所以在點()處的曲線的切線方程為:.    ……5分

(Ⅱ)解法一:由題意得,.      ……9分

(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)

,           

因為,所以恒成立,

上單調遞增,                            ……12分

要使恒成立,則,解得.……15分

解法二:                 ……7分

      (1)當時,上恒成立,

上單調遞增,

.                  ……10分

(2)當時,令,對稱軸,

上單調遞增,又    

① 當,即時,上恒成立,

所以單調遞增,

,不合題意,舍去  

②當時,, 不合題意,舍去 14分

綜上所述: 

 

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已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中,可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

第二問中,

假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

 (Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得……②  ……………………9分

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

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