平行四邊形ABCD中，已知：

DE

=

1

3

DC

，

DF

=

1

4

DB

，求證：A、E、F三點共線．

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平行四邊形ABCD中，已知：，，求證：A、E、F三點共線．

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已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分別是PD、CD的中點．
（I）求證：MN⊥AD；
（II）求二面角A-MN-C的平面角的余弦值．

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一、          選擇題：CACDA,ADCBB.

二、          填空題：11.（-4，2）   12.   13.-4    14.  12          15. 

三、解答題（16～18題，每題13分，19-21題12分，共75分）

16．解：∵

       ∴

∴

17.證明一：（利用共線向量的判定定理證明）

以作為基底，有：, ，從而, 所以A、E、F共線。

證明二：（利用三點共線的判定定理證明）

，而：，所以A、E、F共線。

（可以建立坐標系，利用求出等比分點坐標公式求出E、F的坐標，再證明A、E、F共線）

18．（1）f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋ ＝ sin2x－cos2x

    ＝sin(2x－)  5分                 ∴T＝＝π   2分                                            

（2）函數y＝f(x)的圖象按＝（φ，0）（φ>0）平移后，得y＝sin(2(x－φ)－)    2分，此函數圖象對稱軸方程為2(x－φ)－＝kπ＋  k∈Z ，又f(x)平移后關于y軸對稱，∴x＝0滿足上式有2(0－φ)－＝kπ＋，∴φ＝－π－   k∈Z            2分

∵φ>0∴當k＝－1時，φ_min＝     2分                  

19．（1）由已知得－＝(sinθ，2)－(－2，co sθ)＝(sinθ＋2，2－cosθ)      1分     ∵⊥－     ∴?(－)＝0

∴(cosθ，sinθ)(sinθ＋2，2－cosθ)＝0

∴cosθ(sinθ＋2)＋sinθ(2－cosθ)＝0      2分

∴2cosθ＋2sinθ＝0     ∴tanθ＝－1   ∵θ∈（－π，π）

∴θ＝－或θ＝     3分

（2）由已知＝＋－＝(cosθ＋sinθ＋2，sinθ＋2－cosθ) 1分

 ∴||²＝(cosθ＋sinθ＋2)²＋(sinθ＋2－cosθ)²＝10＋8sinθ 2分

∵||≤  ∴10＋8sinθ≤14   ∴sinθ≤  ∵θ∈(－π，π)

∴θ∈  3分

20．輪船從點C到點B耗時60分鐘，從點B到點E耗時20分鐘，而船始終勻速，可見BC＝3EB                                                2分

   設EB＝x，則BC＝3x，由條件知∠BAE＝60°，在△ABE中，由正弦定理得    ①

   在△ABC中，由正弦定理得 　　�、�       2分

   由條件∠BAC＝30°＋30°＝60° ∴sin∠BAC＝sin∠BAE

   又∠ABC＋∠ABE＝180°        ∴sin∠BAC＝sin(180°－∠ABC)＝sin∠ABE  2分

   結合①②得＝   ∴AC＝3AE  2分                          

   在△ACE中，由余弦定理，得

 CE²＝AC²＋AE²－2AC?AE?cos120°＝9AE²＋AE²＋3AE²＝13AE²＝13×∴CE＝20     2分  ∴BC＝15  ∴船速v＝15km/t    2分

21.解： 可以組建命題一：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：（1）0＜B≤

（2）；

命題二：△ABC中，若a、b、c成等差數列求證：（1）0＜B≤

（2）1＜≤

命題三：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：（1）

（2）1＜≤

命題四：△ABC中，若a、b、c成等比數列，求證：（1）0＜B≤

（2）1＜≤

………………………………………………………………………………………………6分

下面給出命題一、二、三的證明：

（1）∵a、b、c成等差數列∴2b=a+c，∴b=

≥且B∈（0，π），∴0＜B≤

（2）

（3）

∵0＜B≤ ∴ ∴ ∴

下面給出命題四的證明：

（4）∵a、b、c成等比數列∴b²=a+c，

且B∈（0，π），∴0＜B≤…14分

評分時若構建命題的結論僅一個但給出了正確證明，可判7分；若構建命題完全正確但論證僅正確給出一個，可判10分；若組建命題出現了錯誤，應判0分，即堅持錯不得分原則