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已知等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦點為F，O為坐標原點． 過F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P，．
（1）求等軸雙曲線C的方程；
（2）假設過點F且方向向量為的直線l交雙曲線C于A、B兩點，求的值；
（3）假設過點F的動直線l與雙曲線C交于M、N兩點，試問：在x軸上是否存在定點P，使得為常數．若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

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雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．已知||、||、||成等差數列，且與同向．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因為拋物線的焦點的坐標為，設、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

…2

…4

…8

…12

17.（文，滿分12分）

解：因為，所以由條件可得，.

即數列是公比的等比數列.

又，

所以，.

…4

…6

…8

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因為

所以，

即或，

或，

又由，即

當時，或；當時，或.

所以，集合.

…3

…7

…11

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當時，

故，，所以.

（2）證：由數學歸納法

（i）當時，易知，為奇數；

（ii）假設當時，，其中為奇數；

則當時，

所以，又、，所以是偶數，

而由歸納假設知是奇數，故也是奇數.

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數.

證法二：因為

當為奇數時，

則當時，是奇數；當時，

因為其中中必能被2整除，所以為偶數，

于是，必為奇數；

當為偶數時，

其中均能被2整除，于是必為奇數.

綜上可知，各項均為奇數.

…3

…6

…8

…10

…14

…15

…10

…14

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設中點為，聯結、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

…3

…8

…10

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當和之間的距離為1米時，應位于上方，

且此時中邊上的高為0.5米.

又因為米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風窗的通風面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當在矩形區域滑動，即時，

的面積；

2如圖（2）所示，當在半圓形區域滑動，即時，

，故可得的面積

；

綜合可得：

（3）1當在矩形區域滑動時，在區間上單調遞減，

則有；

2當在半圓形區域滑動時，

，

等號成立，.

因而當（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為（平方米）.

…2

…4

…6

…9

…10

…12

…15

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設右焦點坐標為（）.

因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設、為雙曲線直線的兩個交點.

因為，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設存在定點，使為常數，其中，為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.

   ①當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關的常數，當且僅當，此時.

 ②當直線與軸垂直時，可得點,，

 若，亦為常數.

綜上可知，在軸上存在定點，使為常數.

…3

…5

…7

…9

…11

…13

…16

…17

…18

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因為，又平面，

所以平面，則有.

    因為，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與