設數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*都有S_n=（

an+1

2

）²成立．
（1）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）記數列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n項和為T_n．
①若數列{T_n}的最小值為T₆，求實數λ的取值范圍；
②若數列{b_n}中任意的不同兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．試問：是否存在這樣的“封閉數列”{b_n}，使得對任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+L+

1

Tn

＜

11

18

．若存在，求實數λ的所有取值；若不存在，請說明理由．

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．數列{b_n}的前n項和為T_n，滿足T_n=1-b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）寫出一個正整數m，使得

1

am+9

是數列{b_n}的項；
（3）設數列{c_n}的通項公式為cn=

an

an+t

，問：是否存在正整數t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差數列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對（t，k）；若不存在，請說明理由．

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*都有S_n=（

an+1

2

）²成立．
（1）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）記數列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n項和為T_n．
①若數列{T_n}的最小值為T₆，求實數λ的取值范圍；
②若數列{b_n}中任意的不同兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．試問：是否存在這樣的“封閉數列”{b_n}，使得對任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+L+

1

Tn

＜

11

18

．若存在，求實數λ的所有取值；若不存在，請說明理由．