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設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-4n+4，
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n=，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：≤T_n＜1。

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設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-4n+4，設數列{b_n}的前n項和為T_n，且，
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)求T_n，并證明：≤T_n＜1。

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一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分。

題號

1

2

3

4

5

6

8

9

10

答案

C

C

B

D

B

B

A

C

A

二、填空題: 本大題共7個小題，每小題4分，共28分。

11.                    12．8   

13．-3＜a＜8                14．4

15．16                     16．10             17．

三、解答題: 本大題共5個小題，共72分。

18．(本小題滿分14分)

A={x|3-4x-4＜0}={x|(3x+2)(x-2)＜0} ={x|-＜x＜2}     ……………………5

B={x|(3x-1)(x-1)＞0}={x|x＞1或 x＜}                  …………………9

A∩B ={x|1＜x＜2 或 -＜x＜  }                     …………………12

Cu(A)={x|x≥2或≤x≤1或x≤-}                   ………………….14

19．(本小題滿分14分)

(1)設數列的公比為q，由a2=8，a5=512，

可得a₁q=8，a₁q⁴=512。

解得a₁=2，q=4。                                     ……………………4

所以數列的通項公式為

a_n=2×4^n-1=2^2n-1。                                      ……………………7

(2)由a_n=2^2n-1，得b_n=log₂a_n=2n-1                        ……………………10

所以數列是首項b₁=1，公差d=2的等差數列。      

故S_n=

  即數列的前n項和S_n=n²                           ……………………14

20．(本小題滿分14分)

設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，

則f(x)=(560+48x)+

=560+48x+(x≥10，x∈N*)                           ...............5

f(x)≥560+2=560+1440=2000                         ………….10

 當且僅當48x=時，即當x=15時，f(x)取最小值f(15)=2000。……………13

答：為了樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為15層。…………….14              

21．（本小題滿分15分）

 (1)由余弦定理得a²+b²-ab=4。                           ………………..2

又因為△ABC的面積等于，所以，得ab=4。………….. 4

由a²+b²-ab=4和ab=4，解得a=2，b=2。                   ………………..7       

(2)由正弦定理，已知條件化為b=2a，                    ………………… 9 

由a²+b²-ab=4和b=2a，解得a=，b=，           ……………….12

所以△ABC的面積S=。                ………………..15

22．（本小題滿分15分）

(1)S_n=n²-4n+4=(n-2)²，

當n=1時，a₁=S₁=1；                                      …………….2

當≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(n-2)²-(n-3)²=2n-5，

∴a_n=

1     n=1

2n-5  n≥2

………………5   

(2)T_n=，由(1)可得

T_n=-1+(-1)+

    =-2+                   ……………10

(3)由題設可得b₁=-3或b_n=1-(n≥2)，

∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，

∴i=1，i=2都滿足b_i?b_i+1＜0

∵當n≥3時，bn+1-bn=＞0，

即當n≥3時，數列遞增。

∵b₄=-＜0，由1-＞0n≥5，可知i=4滿足b_i?b_i+1＜0，

∴數列的變號數為3。                               ………………15