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已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經過的定點F，直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（1）求點F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

（2011•重慶一模）已知橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在一點P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．