題目列表(包括答案和解析)
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在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c,已知c=2,C=.
(Ⅰ)若△ABC的面積等于,求a、b;
(Ⅱ)若,求△ABC的面積.
【解析】第一問中利用余弦定理及已知條件得又因?yàn)椤鰽BC的面積等于
,所以
,得
聯(lián)立方程,解方程組得
.
第二問中。由于即為即
.
當(dāng)時(shí),
,
,
,
所以
當(dāng)
時(shí),得
,由正弦定理得
,聯(lián)立方程組
,解得
,得到
。
解:(Ⅰ) (Ⅰ)由余弦定理及已知條件得,………1分
又因?yàn)椤鰽BC的面積等于,所以
,得
,………1分
聯(lián)立方程,解方程組得.
……………2分
(Ⅱ)由題意得,
即.
…………2分
當(dāng)時(shí),
,
,
,
……1分
所以 ………………1分
當(dāng)時(shí),得
,由正弦定理得
,聯(lián)立方程組
,解得
,
;
所以
如圖,在三棱錐中,平面
平面
,
,
,
,
為
中點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)B到平面
的距離;(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
【解析】第一問中利用因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">,為
中點(diǎn),所以
而平面平面
,所以
平面
,再由題設(shè)條件知道可以分別以
、
、
為
,
,
軸建立直角坐標(biāo)系得
,
,
,
,
,
,
故平面的法向量
而
,故點(diǎn)B到平面
的距離
第二問中,由已知得平面的法向量
,平面
的法向量
故二面角的余弦值等于
解:(Ⅰ)因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">,為
中點(diǎn),所以
而平面平面
,所以
平面
,
再由題設(shè)條件知道可以分別以、
、
為
,
,
軸建立直角坐標(biāo)系,得
,
,
,
,
,
,故平面
的法向量
而,故點(diǎn)B到平面
的距離
(Ⅱ)由已知得平面的法向量
,平面
的法向量
故二面角的余弦值等于
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA底面ABCD,AC=
,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC。
(I)
證明PC平面BED;
(II) 設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小
【解析】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用。
從題中的線面垂直以及邊長(zhǎng)和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度,并加以證明和求解。
解法一:因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BDAC,又
【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)E的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn),這樣的解決對(duì)于學(xué)生來說就是比較有點(diǎn)難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好。
如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912413079631221/SYS201207091242012651351203_ST.files/image002.png">
又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD
平面PAC,
而平面PAC,所以
.
(Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而
.
由BD平面PAC,
平面PAC,知
.在
中,由
,得PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形,
,所以
均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為
于是梯形ABCD面積
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱錐的體積為
.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD
平面PAC,所以
是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由
算得體積
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