已知函數，為實數.

（1）當時，判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）當時，指出函數的單調區間（不要過程）；

（3）是否存在實數，使得在閉區間上的最大值為2.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

已知函數，為實數.
（1）當時，判斷函數的奇偶性，并說明理由；
（2）當時，指出函數的單調區間（不要過程）；
（3）是否存在實數，使得在閉區間上的最大值為2.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

設函數f（x）的定義域為D，值域為B，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，稱函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列x=g（t）是不是f（x）的一個等值域變換？說明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）設f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，求實數a的取值范圍，并指出x=g（t）的一個定義域；
（3）設函數f（x）的定義域為D，值域為B，函數g（t）的定義域為D₁，值域為B₁，寫出x=g（t）是f（x）的一個等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說明條件的不必要性．