題目列表(包括答案和解析)
如圖，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)
⊥
時(shí)其離心率為
，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．
(1)類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率等于多少？(只要寫出結(jié)論即可)
(2)已知橢圓E：
的一個(gè)焦點(diǎn)f(c，0)(c＞0)，試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”．
| b |
| 128 |
| b |
| 128 |
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ) 當(dāng)
時(shí)，求
的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
，求
的值．
【解析】第一問(wèn)中利用函數(shù)
的定義域?yàn)椋?，2），
.
當(dāng)a=1時(shí)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，
），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；
第二問(wèn)中，利用當(dāng)
時(shí)，
>0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2），.
（1）當(dāng)
時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；
（2）當(dāng)
時(shí)，
>0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計(jì)算．為了計(jì)算出圓周率的越來(lái)越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個(gè)神秘的數(shù)貢獻(xiàn)了無(wú)數(shù)的時(shí)間與心血．我國(guó)東漢的數(shù)學(xué)家劉徽利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓的面積及圓周率π．“割圓術(shù)”被稱為千古絕技，它的原理是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積，具體計(jì)算如下：
在單位圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，邊長(zhǎng)記為a1，在此基礎(chǔ)上作圓內(nèi)接正12邊形，面積記為A2，邊長(zhǎng)為a2…一直作下去，記該圓的內(nèi)接正6×2n－1邊形面積為An，邊長(zhǎng)為an．由于所考慮的是單位圓，計(jì)算出的An即為圓周率π的近似值，n越大，An與π越接近．
你能設(shè)計(jì)這樣計(jì)算圓周率的一個(gè)算法嗎？
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