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已知．

（１）求的單調區間；

（２）證明：當時，恒成立；

（３）任取兩個不相等的正數，且，若存在使成立，證明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

當k0時，>0，所以函數g(x)的增區間為（0，+），無減區間；

當k>0時，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區間（k,+）減區間為（0，k）（3’）

(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當x變化時，h(x),的變化情況如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

①h(x)的圖象關于原點(0,0)對稱；

②h(x)的圖象關于y軸對稱；

③h(x)的最小值為0；

④h(x)在區間(-1,0)上單調遞增.

其中正確的命題是__________________.(把正確命題的序號都填上)

①h(x)的圖像關于原點對稱；       ②h(x)為偶函數；

③h(x)的最小值為0；                ④h(x)在(0，1)上為減函數．

其中正確命題的序號為_____________.(將你認為正確的命題的序號都填上)

【解析】如圖：|OB|＝b，|O F₁|＝c．∴k_PQ＝，k_MN＝﹣．

直線PQ為：y＝(x＋c)，兩條漸近線為：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直線MN為：y－＝﹣(x－)，

令y＝0得：x_M＝．又∵|MF₂|＝|F₁F₂|＝2c，∴3c＝x_M＝，解之得：，即e＝．

【答案】B