Question

已知定義在R上的函數f(x)=ax³-3x²，其中a為大于零的常數，
(1)當a=時，令h(x)=f′(x)+6x，求證：當x∈(0，+∞) 時，h(x)＞2elnx(e為自然對數的底數)；
(2)若函數g(x)=f(x)+f′(x)，x∈[0，2]在x=0處取得最大值，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(1)因為，所以，
則，
令，
則，
所以當x∈（0，）時，f′(x)＜0；當x∈（，+∞）時，f′(x)＞0，
所以當x=時，F(x)取得極小值，F()為F(x)在(0，+∞)上的最小值，
因為，
所以，即。
(2)，
，
令g′(x)=0，則有，
設方程(*)的兩根為x₁，x₂，則，
設x₁＜0＜x₂，
當0＜x₂＜2時，g(x₂)為極小值，所以g(x)在[0，2]上的最大值只能為g(0)或g(2)；
當x₂≥2時，g(x)在[0，2]上單調遞減，最大值為g(0)，
所以g(x)在[0，2]上的最大值只能為g(0)或g(2)；
又已知g(x)在x=0處取得最大值，
所以g(0)≥g(2)，即0≥20a-24，解得，
所以。