題目列表(包括答案和解析)
對數列
，規定
為數列的一階差分數列，其中
， 對自然數
，規定
為的階差分數列，其中
．
（1）已知數列的通項公式
，試判斷，
是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列首項
，且滿足
，求數列的通項公式。
（3）對（2）中數列，是否存在等差數列
，使得
對一切自然
都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。
數列
是公差為正數的等差數列，
，
，
，其中
，則數列的通項公式
______________
對數列
，規定
為數列的一階差分數列，其中
， 對自然數
，規定
為的階差分數列，其中
．
（1）已知數列的通項公式
，試判斷，
是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列首項
，且滿足
，求數列的通項公式。
（3）對（2）中數列，是否存在等差數列
，使得
對一切自然
都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。
一．選擇題
1~10 BADDA BCBCD
二．填空題
11．2
12．
13．
14．8 15．45
三．解答題
16．解：因為
，所以
………………………………（1分）
由
得
，解得
………………………………（3分）
因為
，故集合
應分為
和
兩種情況
（1）時，
…………………………………（6分）
（2）時，
……………………………………（8分）
所以得
…………………………………………………（9分）
若
真
假，則
…………………………………………………………（10分）
若假真，則
……………………………………………………………（11分）
故實數
的取值范圍為或………………………………………（12分）
17．解：（1）由1
的解集有且只有一個元素知
或
………………………………………（2分）
當
時，函數
在
上遞增，此時不滿足條件2
綜上可知
…………………………………………（3分）
……………………………………（6分）
（2）由條件可知
……………………………………（7分）
當
時，令
或
所以
或
……………………………………………………………（9分）
又
時，也有
……………………………（11分）
綜上可得數列
的變號數為3……………………………………………（12分）
18．解：（1）當
時，
………………………（1分）
當
時，
……………………（2分）
由
，知
又是周期為4的函數，所以
當
時
…………………………（4分）
當
時
…………………………（6分）
故當
時，函數
的解析式為
………………………………（7分）
（2）當
時，由
，得
或
或
解上述兩個不等式組得
…………………………………………（10分）
故
的解集為
…………………（12分）
19．解：（1）當
時，
，
……………………（2分）
當
時，
，
綜上，日盈利額
（萬元）與日產量
（萬件）的函數關系為：
…………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，當時，每天的盈利額為0……………………………（6分）
當時，
當且僅當
時取等號
所以
當
時，
，此時……………………………（8分）
當
時，由
知
函數在
上遞增，
，此時
……（10分）
綜上，若，則當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤
若，則當日產量為
萬件時，可獲得最大利潤…………（12分）
20．解：（1）將點
代入
得
因為直線
，所以
……………………………………（3分）
（2）
，
當
為偶數時，
為奇數，
……………（5分）
當為奇數時，為偶數，
（舍去）
綜上，存在唯一的
符合條件…………………………………………………（7分）
（3）證明不等式
即證明
成立，下面用數學歸納法證明
1當
時，不等式左邊=
，原不等式顯然成立………………………（8分）
2假設
時，原不等式成立，即
當
時
=
，即時，原不等式也成立 ………………（11分）
根據12所得，原不等式對一切自然數都成立 ……………………………（13分）
21．解：（1）由
得
……………………（1分）
又的定義域為
，所以
當
時，
當
時，
，為減函數
當
時，
，為增函數………………………（5分）
所以當時，的單調遞增區間為
單調遞減區間為
…………………（6分）
（2）由（1）知當
時，
，遞增無極值………（7分）
所以在
處有極值，故且
因為
且
，所以在
上單調
當為增區間時，
恒成立，則有
………………………………………（9分）
當為減區間時，恒成立，則有
無解 ……………………（13分）
由上討論得實數的取值范圍為
…………………………（14分）
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