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（12分）數列滿足^*)

（1）設，求證：是等比數列;

（2）求數列的通項公式;

　　（3）設，數列的前n項和為T_n，求證：.

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數列滿足：，（其中表示的整數部分，），試求的值.

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說明：

    一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題

        的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．

    二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的

        內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一

        半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得累加分．

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．

一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1．C  2．C  3．B  4．D  5．D   6．B  7．A  8．D  9．B  10．B  11．C  12． A

簡答與提示：

1．程組可得交點，故選C

2．正弦定理可知“” 是使“”成立的充要條件。故選C

3．。故選B

4． 因為四個命題均有線在面內的可能，所以均不正確，故選D

5．  故選D

6．以為直徑的圓與圓的公共弦即為所求，直線方程為，故

   選B．

7．將的圖像先向左平移個單位得到的圖像，再沿軸將橫坐標

   壓縮到原來的倍（縱坐標不變）得到的圖像，故選A

8．在點處目標函數取得最大值為－1，故選D．

9．先在后三位中選兩個位置填兩個數字“0”有種填法，再排另兩張卡片有種排法，

   再決定用數字“9”還是“6”有兩種可能，所以共可排成個四位數，故選B．

10．

       最大，也可用賦值法，代入即可，故選B

11．

       ，當三點共線時取得最小值，故選C

12．因為函數在其定義域內為減函數，所以

       恒成立，即為減函數（切線斜率減小），故選A

13．                     14．               15．9                     16．①②④

簡答與提示：

13．設正方體棱長為，則

14．∵，∴，∴．

15．

16．由知函數關于點對稱，且可得，由

       知函數關于軸對稱，進一步可推出周期為4，所以

       ，故①②④正確

三、解答題（滿分70分）

17．本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數圖象及性質．

       解：（1）∵

       ∴．

   （2）當，即時，，       ，   

       當，即，，

       ∴函數的值域為[，1]．                             

18．（1）本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題解決問題

       的能力．

    解．（1）中一等獎的概率為，                         

    中二等獎的概率為，                       

       中三等獎的概率為，                      

       ∴搖獎一次中獎的概率為                  

   （2）由（1）可知，搖獎一次不中獎的概率為

       兩次搖獎莊家獲利包括兩次均未中獎和一次未中獎一次中三等獎兩種情況，

       所以莊家獲利的概率為：

19．本小題主要考查空間線面位置關系、異面直線所成角、二面角等基本知識，考查空間想

       象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應用．

       解法一：

   （1）證明：

       取中點為，連結、，

       ∵△是等邊三角形，

       ∴

       又∵側面底面，

       ∴底面，

∴為在底面上的射影，

       又∵，

    ，

    ∴，

    ∴，

    ∴，

    ∴．

   （2）取中點，連結、，       

       ∵．

       ∴．

       又∵，，

       ∴平面，

       ∴，

       ∴是二面角的平面角．                  

       ∵，，

       ∴．

       ∴，

       ∴，

       ∴，

       ∴二面角的大小為                         

       解法二：證明：（1） 取中點為，中點為，連結，

       ∵△是等邊三角形，

       ∴，

       又∵側面底面，

       ∴底面，

       ∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系

       如圖，    （2分）

       ∵，△是等邊三角形，

∴，

       ∴．

       ∴．

       ∵

       ∴．

       （2）設平面的法向量為

       ∵

       ∴

       令，則，∴               

       設平面的法向量為，              

       ∵，

       ∴，

       令，則，∴       

       ∴，

       ∴，

       ∴二面角的大小為．                         

20．本小題主要考查函數的單調性、極值等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，

       函數與方程思想，考查分析問題和解決問題的能力。

       解：（1）

   （2）

       方程有3個不等實根

       函數的圖像與軸有三個不同的交點

21．本小題主要考查等差數列定義、通項、數列求和、不等式等基礎知識，考查綜合分析問

       題的能力和推理論證能力。

       解：（1）

       數列是以2為首項，以1為公差的等差數列。

   （3）

22． 本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡的求法以及綜合解

       題能力

       解：（1）設，則

    ∵,∴，∴，             

       又，∴

       ∴曲線的方程為                                     

       （2）由（1）可知， （4，0）為橢圓的右焦點，設直線方程為

       ，由消去得，，

       ∴        

       ∴

       ，

       當，即時取得最大值，

       此時直線方程為．