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已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋mx，當x＝0時，函數f(x)取得極大值．

(Ⅰ)求實數m的值；

(Ⅱ)已知結論∶若函數f(x)＝ln(x＋1)＋mx在區間(a，b)內導數都存在，且a＞－1，則存在x₀∈(a，b)，使得．試用這個結論證明∶若－1＜x₁＜x₂，函數，則對任意x∈(x₁，x₂)，都有f(x)＞g(x)；

(Ⅲ)已知正數λ₁，λ₂，…λ_n，滿足λ₁＋λ₂＋…＋λ_n＝1，求證∶當n≥2，n∈N時，對任意大于－1，且互不相等的實數x₁，x₂，…，x_n，都有f(λ₁x₁＋λ₂x₂＋…＋λ_nx_n)＞λ₁f(x₁)＋λ₂f(x₂)＋…＋λ_nf(x_n)．

A是定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數φ(x)組成的集合：

①對任意的x∈[1，2]，都有φ(2x)∈(1，2)；

②存在常數L(0＜L＜1)，使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ(2x₁)－φ(2x₂)|≤L|x₁－x₂|．

(Ⅰ)設φ(2x)＝，x∈[2，4]，證明：φ(x)∈A

(Ⅱ)設φ(x)∈A，如果存在x₀∈(1，2)，使得x₀＝φ(2x₀)，那么這樣的x₀是唯一的；

(Ⅲ)設φ(x)∈A，任取x₁∈(1，2)，令x_n－1＝φ(2x_n)，n＝1，2，…，證明：給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式|x_k+p－x_k|≤|x₂－x₁|