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（本小題滿分13分）

袋中有大小相同的三個球，編號分別為1、2和3，從袋中每次取出一個球，若取到的球的編號為偶數，則把該球編號加1（如：取到球的編號為2，改為3）后放回袋中繼續取球；若取到球的編號為奇數，則取球停止，用表示所有被取球的編號之和．

（Ⅰ）求的概率分布；

（Ⅱ）求的數學期望與方差．

（本小題滿分12分）

  為了收集2009年7月“長江日全食”天象的有關數據，國家天文臺在成都、武漢各設置了A、B兩個最佳觀測站，共派出11名研究員分別前往兩地實地觀測。原計劃向成都派出3名研究員去A觀測站，2名研究員去B觀測站；向武漢派出3名研究員去A觀測站，3名研究員去B觀測站，并都已指定到人。由于某種原因，出發前夕要從原計劃派往成都的5名研究員中隨機抽調1人改去武漢，同時，從原計劃派往武漢的6名研究員中隨機抽調1人改去成都，且被抽調的研究員仍按原計劃去A觀測站或B觀測站工作。求：

   （I）派往兩地的A、B兩個觀測站的研究員人數不變的概率；

   （II）在成都A觀測站的研究員從數X的分布列和數學期望。

(本小題滿分13分)

袋中有大小相同的三個球，編號分別為1、2和3，從袋中每次取出一個球，若取到的球的編號為偶數，則把該球編號加1(如：取到球的編號為2，改為3)后放回袋中繼續取球；若取到球的編號為奇數，則取球停止，用表示所有被取球的編號之和．

(Ⅰ)求的概率分布；

(Ⅱ)求的數學期望與方差．

（本小題滿分13分）

平地上有一條水渠，其橫斷面是一段拋物線弧，如圖，已知渠寬為，渠深為6。

（1）若渠中水深為4，求水面的寬，并計算水渠橫斷面上的過水面積；

（2）為了增大水渠的過水量，現要把這條水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請你設計水渠改挖后的底寬，并求出這個底寬。

（本小題滿分12分）

  為了收集2009年7月“長江日全食”天象的有關數據，國家天文臺在成都、武漢各設置了A、B兩個最佳觀測站，共派出11名研究員分別前往兩地實地觀測。原計劃向成都派出3名研究員去A觀測站，2名研究員去B觀測站；向武漢派出3名研究員去A觀測站，3名研究員去B觀測站，并都已指定到人。由于某種原因，出發前夕要從原計劃派往成都的5名研究員中隨機抽調1人改去武漢，同時，從原計劃派往武漢的6名研究員中隨機抽調1人改去成都，且被抽調的研究員仍按原計劃去A觀測站或B觀測站工作。求：

   （I）派往兩地的A、B兩個觀測站的研究員人數不變的概率；

   （II）在成都A觀測站的研究員從數X的分布列和數學期望。