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.(本小題滿分14分)
在平面直角坐標系上，設不等式組（）所表示的平面區域為，記內的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為.（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數學歸納法加以證明；（Ⅱ）設數列的前r項和為，數列的前r項和,是否存在自然數m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

.(本小題滿分14分)

在平面直角坐標系上，設不等式組（）所表示的平面區域為，記內的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為.（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數學歸納法加以證明；（Ⅱ）設數列的前r項和為，數列的前r項和,是否存在自然數m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

(本小題滿分14分) 在平面直角坐標系上，設不等式組（）

所表示的平面區域為，記內的整點（即橫坐標和縱坐標均

為整數的點）的個數為.

（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數學歸納法加以證明；

（Ⅱ）設數列的前_r項和為，數列的前_r項和,

是否存在自然數m？使得對一切，恒成立。若存在，

求出m的值，若不存在，請說明理由。

（本小題滿分14分）  已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍．

（Ⅲ）求證：（其中，e是自然對數的底數）．